Exercice 4, § 1

a) Soit $E$ un ensemble totalement ordonné. Sur le $\mathbf{Z}$-module $F$ des combinaisons linéaires formelles des éléments de $E$ à coefficients dans $\mathbf{Z}$ (A, II, p. 25), on définit une structure de groupe totalement ordonné en prenant comme ensemble $F_+$ des éléments $\geq 0$ l’ensemble formé de 0 et des combinaisons linéaires $\sum_{\xi \in E} n(\xi) \xi \neq 0$ telles que $n(\xi) > 0$ pour le plus grand élément $\xi \in E$ tel que $n(\xi) \neq 0$. Montrer que $E$ s’identifie à une partie cofinale de $F_+$.

b) On suppose $E$ bien ordonné, et on considère le groupe $G$ des applications bornées de $E$ dans $F$; on définit sur $G$ une structure de groupe totalement ordonné en prenant pour ensemble $G_+$ des éléments $\geqslant 0$ l’ensemble formé de 0 et des applications bornées $x$ de $E$ dans $F$ telles que $x(\xi) > 0$ pour le plus petit $\xi \in E$ tel que $x(\xi) \neq 0$ (ordre lexicographique). Montrer que pour la topologie $\mathscr{T}_0(G)$, $G$ est complet; si en outre $E$ est non dénombrable et est tel que tout segment $]\leftarrow, \xi]$ ($\xi \in E$) soit dénombrable, alors dans $G$ toute intersection dénombrable d’ensembles ouverts est un ensemble ouvert et tout ensemble compact est fini (cf. I, p. 105, exerc. 4).

c) On suppose désormais $E$ bien ordonné, non dénombrable mais tel que tout segment $]\leftarrow, \xi]$ soit dénombrable. Pour tout $\xi \in E$, soit $c_\xi$ l’application constante de $E$ dans $E$ égale à $\xi$; les $c_\xi$ forment un ensemble cofinal dans $G_+$. Soit $E_0$ un ensemble obtenu en adjoignant à $E$ un élément $\omega$; sur l’ensemble $H = G \times E_0$, on considère la topologie $\mathscr{T}$ engendrée par les ensembles suivants: $1^\circ \ V_{a,b,\xi} = ]a, b[ \times \{\xi\}$ pour $a < b$ dans $G$ et $\xi \in E$; $2^\circ \ W_{a,b,\xi}$, défini de la façon suivante pour $a < b$ dans $G$, $\xi \in E$ tel que $c_\xi > \sup(|a|, |b|)$: $W_{a,b,\xi}$ est formé des $(x, \omega)$ tels que $a < x < b$ et des couples $(x, \zeta)$ tels que $\zeta \in E$, $\zeta \geqslant \xi$ et, soit $a < x < b$, soit $4c_\xi + a < x < 4c_\xi + b$. Montrer que $\mathscr{T}$ est séparée et que, dans $H$, tout ensemble compact pour $\mathscr{T}$ est fini. En outre, $G$ opère continûment dans $H$ par la loi $(x, (y, \zeta)) \mapsto (x + y, \zeta)$; mais $G$ n’opère pas proprement dans $H$, bien que les conditions $a), b), c), d)$ de III, p. 29, prop. 4 soient remplies et que, pour tout couple de parties compactes $K, L$ de $H$, l’ensemble $P(K, L)$ (III, p. 33, th. 1) soit compact.