Bourbaki

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1. 定义 / 实数

1. 有理数数的有序群

我们定义了有理数在集合Q\mathbf{Q}上的排序x≤yx \leq y；我们已经看到，这种排序使Q\mathbf{Q}成为*线性排序*集合，并且它与Q\mathbf{Q}的*加法群*结构*相容的*，即对于每个z∈Qz \in \mathbf{Q}关系x≤yx \leq y等价于x+z≤y+zx + z \leq y + z（即， 顺序在翻译下保持不变）。我们回想一下记号（用于任何线性排序的群）

x+=sup⁡(x,0),x−=sup⁡(−x,0)=(−x)+,∣x∣=sup⁡(x,−x); x^+ = \sup (x, 0), \\ x^- = \sup (-x, 0) = (-x)^+, \\ |x| = \sup (x, -x);

∣x∣|x| 被称为 xx 的*绝对值*，我们有

x=x+−x−,∣x∣=x++x− x = x^+ - x^-, \qquad |x| = x^+ + x^-

和*三角形不等式*

(1)

∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣, |x + y| \leq |x| + |y|,
与不等式一起 (2)
∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣ ||x| - |y|| \leq |x - y|
这是 (1) 的直接的推论；而且 (3)
∣x+−y+∣≤∣x−y∣. |x^+ - y^+| \leq |x - y|.

关系 x≥0, x=x+, x−=0, ∣x∣=xx \geq 0,\ x = x^+,\ x^- = 0,\ |x| = x（分别为x≤0, x=−x−, x+=0, ∣x∣=−xx \leq 0,\ x = -x^-,\ x^+ = 0,\ |x| = -x）*等效*。 关系 ∣x∣=0|x| = 0相当于x=0x = 0；如果a≥0a \geq 0，关系∣x∣≤a|x| \leq a相当于−a≤x≤a-a \leq x \leq a，关系∣x∣≥a|x| \geq a相当于“x≥ax \geq a或x≤−ax \leq -a”。对于Q\mathbf{Q}中的所有x,yx, y，我们有

(4)

sup⁡(x,y)+z=sup⁡(x+z,y+z), \sup (x, y) + z = \sup (x + z, y + z),
(5)
inf⁡(x,y)=−sup⁡(−x,−y), \inf (x, y) = - \sup (-x, -y),

并且，作为特殊情况，

(6)

sup⁡(x,y)=x+(y−x)+=x+(x−y)−, \sup (x, y) = x + (y - x)^+ = x + (x - y)^-,
(7)
inf⁡(x,y)=x−(y−x)−=x−(x−y)+. \inf (x, y) = x - (y - x)^- = x - (x - y)^+.

最后，让Q+\mathbf{Q}_+表示有理数数≥0\geq 0的集合；那么我们有

(8)

Q++Q+⊂Q+, \mathbf{Q}_+ + \mathbf{Q}_+ \subset \mathbf{Q}_+,
(9)
Q+∩(−Q+)={0}, \mathbf{Q}_+ \cap (- \mathbf{Q}_+) = \{ 0 \},
(10)
Q+∪(−Q+)=Q. \mathbf{Q}_+ \cup (- \mathbf{Q}_+) = \mathbf{Q}.

关系 x≤yx \leq y 等于 y−x∈Q+y - x \in \mathbf{Q}_+。

我们将在 Q\mathbf{Q} 上使用此排序来定义 拓扑与其加法群结构 相容的。

2. 理性线

考虑*对称开区间* ]−a,+a[]-a, +a[的集合F\mathfrak{F}，其中aa贯穿有理数>0> 0的集合；我们将证明F\mathfrak{F}是拓扑中*00的邻域的*基本系统与Q\mathbf{Q}的加法群结构兼容。

群Q\mathbf{Q}是可交换的，显然满足公理(GVII′)(\mathrm{GV}'_{\mathrm{II}})；因此，足以证明公理(GVI′)(\mathrm{GV}'_{\mathrm{I}})在其他字中也满足，对于每个a>0a > 0，存在b>0b > 0，使得条件∣x∣<b|x| < b和∣y∣<b|y| < b一起意味着∣x+y∣<a|x + y| < a。三角形不等式表明我们可以取b=a/2b = a/2。

定义 1 0BP1

有理线是集合Q\mathbf{Q}和加法群拓扑的拓扑空间由……组成，其中对称开区间]−a,+a[]-a, +a[(a>0)(a > 0)形式是基本系统邻域 00。

引用了 1

引用了 I § 1. 营业集合、邻域、休息集合

如此定义的拓扑群Q\mathbf{Q}称为有理线的加法群。

如果aa是任意有理数数>0> 0，则存在整数n>0n > 0使得1/n<a1/n < a；因此，开区间 ]−1n,+1n[]-\frac{1}{n}, +\frac{1}{n}[ (n=1,2,…)(n = 1, 2, \ldots) 形式是有理线上00 的邻域的基本系统。

通过取开区间]x−a,x+a[]x - a, x + a[，我们可以得到任何点x∈Qx \in \mathbf{Q}的邻域的基本系统，其中aa穿过有理数>0> 0的集合（或数的集合） 1/n1/n）。

因此，定义 1 相当于章 I, § 1, no. 2 中给出的值。

对于有理数(a,b)(a, b)的每个对使得a<ba < b，存在c∈Qc \in \mathbf{Q}使得a<c<ba < c < b[对于例c=(a+b)/2c = (a + b)/2]；由此可见，有理线是非离散 Hausdorff 空间。

对于每个a>0a > 0，令UaU_a为Q×Q\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}中对(x,y)(x, y)的集合，使得∣x−y∣<a|x - y| < a。由于aa贯穿有理数数>0> 0的集合（或者只是数1/n1/n的集合），集合UaU_a形式基本系统的一致性有理线的加法群Q\mathbf{Q}。 关系(2)和(3)表明∣x∣,x+|x|, x^+和x−x^-在Q\mathbf{Q}上均匀连续。由此可见，函数、sup⁡(x,y)\sup(x, y)和inf⁡(x,y)\inf(x, y)在Q×Q\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}上一致连续。

3. 实直线和实数

定义 2 0BP2

让R\mathbf{R}表示拓扑群，它是有理线加法群Q\mathbf{Q}的完成。 R\mathbf{R}中的元素称为实数；作为拓扑空间，R\mathbf{R}称为实直线；作为拓扑群，R\mathbf{R}被称为实直线的加法群。

引用了 4

引用了 II § 3. 完成空间, III § 2. 子群、商群、同态、均质空间、乘积群, 习题 2, § 1, IV § 3. 实数的域

我们总是将认同Q\mathbf{Q}与R\mathbf{R}的稠密子群进行规范同构。根据这个约定，每个有理数数都是实数。每个非有理数的实数都被称为无理数；我们在章II, § 3, no. 3中看到这样的数存在（我们将在章的§ 3, no. 3中以另一个的方式展示这一点；另见习题2到§ 2）；因此，无理数数的 (章 III, § 2, no. 1) 集合 CQ\mathbf{CQ} 在 R\mathbf{R} 中是稠密的。

我们将证明Q\mathbf{Q}的阶结构可以扩展到R\mathbf{R}，使得扩展排序仍然与R\mathbf{R}的加法群结构兼容：

命题 1 0BP3

关系 y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+ 是R\mathbf{R} 的排序，使得R\mathbf{R} 成为线性排序的集合；与R\mathbf{R}上的加法群结构兼容，以及Q\mathbf{Q}上的诱导排序x≤yx \leq y。

引用了 1

引用了 定理 1, I § 2

我们首先证明关系y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+和z−y∈Q‾+z - y \in \overline{\mathbf{Q}}_+蕴含z−x∈Q‾+z - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+。事实上，函数x+yx + y在R×R\mathbf{R} \times \mathbf{R}上连续，因此根据(8)我们有Q‾++Q‾+⊂Q‾+\overline{\mathbf{Q}}_+ + \overline{\mathbf{Q}}_+ \subset \overline{\mathbf{Q}}_+(章I, § 2, no. 1，定理1)。接下来，我们将证明关系y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+和x−y∈Q‾+x - y \in \overline{\mathbf{Q}}_+隐含x=yx = y；这将确定 y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+ 是对 R\mathbf{R} 的排序。足以证明Q‾+∩(−Q‾+)={0}\overline{\mathbf{Q}}_+ \cap (-\overline{\mathbf{Q}}_+) = \{0\}。现在函数 x→x+x \to x^+ 和 x→x−x \to x^- 在 Q\mathbf{Q} 上一致连续，因此可以通过连续性扩展到 R\mathbf{R} (章 II, , no. 6, 定理 2)；令ff和gg分别为扩张。到扩张时，我们为所有 x∈Rx \in \mathbf{R} 提供了 x=f(x)−g(x)x = f(x) - g(x)； if x∈Q‾+x \in \overline{\mathbf{Q}}_+ then g(x)=0g(x) = 0，并且由于 −Q‾+-\overline{\mathbf{Q}}_+ 是 −x-x 连续性对 −Q+-\mathbf{Q}_+ 的闭包，因此可以得出 if x∈−Q‾+x \in -\overline{\mathbf{Q}}_+ then f(x)=0f(x) = 0。因此，如果 x∈Q‾+∩(−Q‾+)x \in \overline{\mathbf{Q}}_+ \cap (-\overline{\mathbf{Q}}_+) 我们有 f(x)=g(x)=0f(x) = g(x) = 0 因此 x=0x = 0

根据 (10)，我们得到 Q‾+∪(−Q‾+)=R\overline{\mathbf{Q}}_+ \cup (-\overline{\mathbf{Q}}_+) = \mathbf{R}，因此 R\mathbf{R} 按y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+ 线性排序。

此外，由于关系y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+和(y+z)−(x+z)∈Q‾+(y + z) - (x + z) \in \overline{\mathbf{Q}}_+是等价的，所以y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+的排序与R\mathbf{R}的加法群结构兼容。

最后，如果 xx 和 yy 属于到 Q\mathbf{Q} 关系 y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+ 和 y−x∈Q+y - x \in \mathbf{Q}_+ 等价，因此关系 y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+ 诱导关系 x≤yx \leq y Q\mathbf{Q}。这样就完成了证明。

关系y−x∈Q‾+y - x \in \overline{\mathbf{Q}}_+再次表示为x≤yx \leq y。 集合Q‾+\overline{\mathbf{Q}}_+是R\mathbf{R}中所有x≥0x \geq 0的集合，记为R+\mathbf{R}_+；这是一个*封闭的集合*。所有x>0x > 0中的集合用R+∗\mathbf{R}_+^*表示；它是−R+-\mathbf{R}_+的补集，因此在R\mathbf{R}中“开”。

4. R\mathbf{R} 中的区间性质

命题 2 0BP4

R\mathbf{R} 中的每个闭（或开）区间都是 R\mathbf{R} 中的闭（或开）集合。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 III § 1. 群上的拓扑

被以下引用 VII § 1. 子群和商群 $\mathbf{R}^n$

集合 [a,→[=a+R+[a, \to[ = a + \mathbf{R}_+和]←,a]=a−R+]\leftarrow, a] = a - \mathbf{R}_+分别由R+\mathbf{R}_+和−R+-\mathbf{R}_+翻译得到，因此是闭的（章III, § 1, no. 1）； 集合 ]←,a[]\leftarrow, a[ 和 ]a,→[,]a, \to[, 是它们的补集，开；最后，闭区间[a,b][a, b]（或开区间]a,b[]a, b[）是[a,→[[a, \to[和]←,b]]\leftarrow, b]（分别是]a,→[]a, \to[和]←,b[]\leftarrow, b[）的交，因此是闭（或开）集合。

因此，R\mathbf{R} 中的闭区间 [−a,+a][-a, +a] (a>0a > 0) 为 0 的邻域。 让我们证明，当 aa 穿过 R+∗\mathbf{R}_+^* 时，它们形式和邻域* 的 *基本系统为 0。为此，建立以下命题就足够了：

命题 3 0BP5

由于rr贯穿有理数>0> 0的集合，R\mathbf{R}形式中的区间sr=[−r,+r]s_r = [-r, +r]是邻域的基本系统为0。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 7, III § 3

被以下引用 命题 4, 命题 5

通过章III, § 3, no. 4的命题7，我们通过在R\mathbf{R}中取区间的*闭包*，获得R\mathbf{R}中0的邻域的基本系统

S_r \cap \mathbf{Q} = [-r, +r] \textit{of} \mathbf{Q}。如果我们证明 S_r 是 S_r \cap \mathbf{Q} 的闭包，证明就完整了。现在 S_r 在 \mathbf{R} 中是闭包，因此我们只需证明，如果 x 是实数且 -r < x < r，则 x 在 S_r \cap \mathbf{Q} 的闭包中。区间 ]-r, +r[ 是 \mathbf{R} 中的开集合，因此对于 \mathbf{R} 中所有足够小的 o 邻域 V，我们有 x + V \子集 ]-r, +r[;但 \mathbf{Q} 在 \mathbf{R} 中是稠密的，因此在 x + V 中存在有理数数 r' \，因此 -r < r' < r，因此在 S_r \cap \mathbf{Q} 中存在 r' \。

推论 0BP6

实直线的每个点都有一个邻域的可数基数系统。

被以下引用 1

被以下引用 IV § 7. 实数的无限和和乘积

命题 4 0BP7

如果 (x, y) 是实数中的任意对，并且 x < y，则存在有理数数 r，使得 x < r < y。

引用了 1

引用了 命题 3

由于 \mathbf{Q} 在 \mathbf{R} 中是稠密的，因此只要证明 ]x, y[ 不为空即可；通过翻译，我们可以假设 x = 0 且 y > 0。现在 \mathbf{R} 是 Hausdorff 空间，因此，通过命题 3，存在有理数数 r > 0，使得 y \notin ]-r, +r[，这意味着 0 < r < y。

命题 5 0BP8

设I为\mathbf{R}中的任意区间。然后由I的开区间生成\mathbf{R}的拓扑在I上诱导的拓扑（其中I被认为是按关系 x \leq y线性排序）。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 3

被以下引用 命题 2, IV § 4

每个I开区间都是\mathbf{R}开区间在I上的迹。对于有界区间来说这是很清楚的，I的无界区间 ]a, \to[ 是 \mathbf{R} 的无界区间 ]a, \to[ 的迹。因此，我们可以将自己限制在 I = \mathbf{R} 的情况；但在这种情况下，结果来自命题 3，因为点 x \in \mathbf{R} 包含的每个邻域都是开区间 ]x - a, x + a[。

注 0BP9

如果 A 是 \mathbf{R} 的稠密子集，则 \mathbf{R} 的拓扑由其端点属于到 A 的开区间生成。

]x−a,x+a[ ]x - a, x + a[

是开区间包含 x，A 存在两个点 y, z 使得 x - a < y < x 且 x < z < x + a；因此 ]y, z[ 包含于 x 并且包含在 ]x - a, x + a[ 中。此外，这个证明还显示了\mathbf{R}的拓扑所考虑的区间形式基(章I, § 1, no. 3)。特别是，如果我们取 A = \mathbf{Q}，我们会看到 \mathbf{R} 的拓扑具有可数的基。

引用了 1

引用了 I § 1. 营业集合、邻域、休息集合

5. 区间的长度

定义 3 0BPA

具有端点 a 和 b (a \leq b) 的有界区间的长度定义为 b - a。

因此，包含大于 1 个点的每个有界区间都具有长度 > 0。如果 a≤ba \leq b，则四个区间 [a,b],]a,b[,[a,b[[a, b], ]a, b[, [a, b[ 和 ]a,b[]a, b[ 都具有相同的长度。端点为 a+ca + c 和 b+cb + c 的区间与端点为 aa 和 bb 的区间具有相同的长度；在其他字中，间隔的*长度在平移下是不变的*。

如果a≤c≤d≤ba \leq c \leq d \leq b我们有d−c≤b−ad - c \leq b - a。因此，如果有界区间II包含在有界区间I′I'中，则II的长度小于或等于I′I'的长度。

如果nn互为不相交的开区间I1,I2,…,InI_1, I_2, \ldots, I_n包含在区间[a,b][a, b]（a<ba < b）中，则由nn上的归纳很容易看出，如果Ik=]ck,dk[I_k = ]c_k, d_k[，则存在指标的置换σ\sigma kk (1≤k≤n1 \leq k \leq n) 使得dσ(k)≤cσ(k+1)d_{\sigma(k)} \leq c_{\sigma(k+1)} 为1≤k≤n−11 \leq k \leq n - 1。紧接着，区间IkI_k的长度的和至多等于[a,b][a, b]的长度，并且等式成立当且仅当对于1≤k≤n−11 \leq k \leq n - 1有cσ(1)=a,dσ(n)=bc_{\sigma(1)} = a, d_{\sigma(n)} = b和dσ(k)=cσ(k+1)d_{\sigma(k)} = c_{\sigma(k+1)}。

6. R\mathbf{R} 的加性均匀性

由于群 R\mathbf{R} 是线性排序的，函数 x+,x−x^+, x^- 和 ∣x∣|x| 在 R\mathbf{R} 上的定义方式与 Q\mathbf{Q} 和满足相同，上面为 Q\mathbf{Q} 列出了所有关系，特别是关系 (1)至(7)。令aa为实数 > 0，并令UaU_a为所有对(x,y)∈R×R(x, y) \in \mathbf{R} \times \mathbf{R}中的集合，使得∣x−y∣<a|x - y| < a；由于aa贯穿实数 > 0的集合（或数1/n1/n的集合），集合UaU_a形式是均匀性的基本系统实直线的加法群R\mathbf{R}（称为*实直线*的加性均匀性）。

函数 ∣x∣|x|、x+x^+ 和 x−x^- 在 R\mathbf{R} 上“均匀连续”，函数 sup⁡(x,y)\sup(x, y) 和 inf⁡(x,y)\inf(x, y) 在 R×R\mathbf{R} \times \mathbf{R} 上“均匀连续”；这些函数因此重合以及通过分别在Q\mathbf{Q}和Q×Q\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}上定义的连续性扩展相应的函数获得的相应的函数。

习题

参见习题为 § 1。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。