对于指标集合 $I$ 中的每一个有限子集 $H$，设 $s_H = \sum_{i \in H} x_i$；由于$x_i$是$\geqslant 0$，关系$H \subset H'$意味着$s_H \leqslant s_{H'}$。在其他字中，映射$H \to s_H$是$I$的有限子集的有向集合$\mathfrak{F}(I)$*递增*函数；因此（§ 5, no. 2，定理2的推论）当且仅当它*有界*时，它才有有限的极限。

假设意味着，

for every 有限子集 $H$ of $I$ and the first 部分 of 定理 follows from this; 不等式 relating 和 follows from 原理 of 扩张 of inequalities ($§ 5$, no. 2, 定理 1).如果$x_x < y_x$，那么

这个定理提供了最常用的标准来决定实数$\geq 0$的序列$(x_n)$在$\mathbf{R}$中是否可求和：我们尝试将给定的序列与一个更简单的序列$(y_n)$进行“比较”，其中我们已经知道它是否可求和。 如果存在有限的数$a > 0$，使得$x_n \leq a y_n$对于从某个点开始的所有$n$来说，并且如果$(y_n)$是可求和的，则$(x_n)$是可求和的；另一方面，如果存在有限的数$b > 0$，使得$x_n \geq b y_n$对于从某个点开始的所有$n$，并且如果$(y_n)$在$\mathbf{R}$中不可求和，则$(x_n)$在$\mathbf{R}$中不可求和。 我们将在后面的卷中看到如何在最常出现的情况下获得这种比较序列。

a) 家庭 $(x_i)$ 可总结为 $\mathbf{R}$。 b) 家庭 $(|x_i|)$ 可总结为 $\mathbf{R}$。 c) 族的有限部分和的*集合*$(x_i)$*限制在*$\mathbf{R}$。

令$I_1$ 为所有 $i \in I$ 中的集合，使得 $x_i \geq 0$，*和* $I_2$ 集合中的所有 $i \in I$ 使得 $x_i < 0$。 家庭 $(x_i)_{i \in I}$ *[分别。 $(|x_i|)_{i \in I}$] 可求和当且仅当每个族 $(x_i)_{i \in I_1}$ 和 $(x_i)_{i \in I_2}$ *[分别。 $(|x_i|)_{i \in I_1}$ 和 $(|x_i|)_{i \in I_2}$] 可求和（章 III, § 5, no. 3、命题 2 和 3）。 现在说 $(x_i)_{i \in I_1}$ 是可求和的，或者 $(|x_i|)_{i \in I_1}$ 是可求和的，或者族$(x_i)_{i \in I_1}$的有限部分和的集合是有界的（no. 1，定理 1）；将$I_1$替换为$I_2$也是如此。 定理紧随其后。

定理 3 表明，有限实数族在$\mathbf{R}$中的可求和性仅取决于其绝对值族的可和性。

我们回想一下（章III, § 5, no. 5，命题6），如果$(x_i)$和$(y_i)$是有限实数的两个可求和族，那么$(x_i + y_i)$族是可求和的并且$\sum (x_i + y_i) = \sum x_i + \sum y_i$。此外，如果$(x_i)$是有限实数的可和族，并且$a$是任何有限实数，则$(ax_i)$族在$\mathbf{R}$中可求和，并且我们有$\sum ax_i = a \cdot \sum x_i$。

(1)

$L \times M$的每个有限子集都包含在形式$H \times K$的有限子集中，其中$H$是$L$的有限子集，$K$是$M$的有限子集。到假设，存在数$a > 0$，使得$L$和$M$的所有有限子集$H$和$K$分别有$\sum_{\lambda \in H} |x_\lambda| \leq a$和$\sum_{\mu \in K} |y_\mu| \leq a$；因此

这表明族$(x_\lambda y_\mu)$可以在$\mathbf{R}$中通过定理1和3求和。通过结合性我们可以写出[章III, § 5, no. 3,公式(2)] 因此结果。

如果$p = 1$，这些不等式是明确的，并由$p$上的归纳证明。如果

我们有 再说一次，如果 我们有

证明引理后，我们注如果族$(1 + u_i)$是可乘的，那么族$(1 + u_i^+)$和$(1 - u_i^-)$也是可乘的，因为$\mathbf{R}^*$是完整的群（章III, § 5, no. 3，命题2）；相反，如果族$(1 + u_i^+)$和$(1 - u_i^-)$是可乘的，那么$(1 + u_i)$也是可乘的（章III, § 5, no. 3，命题3）。因此，我们只需要考虑所有$u_i$都是$\geq 0$以及它们都是$\geq 0$的情况。

首先假设 $u_i \geq 0$ 对于所有$i$。如果族$(1 + u_i)$是可乘的，那么对于每个$\varepsilon > 0$，$I$中有指标集合的有限子集$J$，这样，对于$I$不相交的的每个有限子集$H$ $J$，我们有$1 \leq \prod_{i \in H} (1 + u_i) \leq 1 + \varepsilon$；由(2)得出$\sum_{i \in H} u_i \leq \varepsilon$，这表明根据柯西准则(章III, § 5, no. 2，定理1)，$(u_i)$可在$\mathbf{R}$中求和。

相反，假设 $(u_i)$ 可在 $\mathbf{R}$ 中求和。对于每个$\varepsilon$，使得$0 < \varepsilon < 1$，有$I$的有限子集$J$，这样，对于来自$J$的$I$不相交的的每个有限子集$H$，我们有$0 \leq \sum_{i \in H} u_i \leq \varepsilon$。根据(3)，我们有 $\prod_{i \in H} (1 - u_i) \geq 1 - \varepsilon$；但由于$1 + u \leq \frac{1}{1 - u}$对于每个数$u$使得$0 \leq u < 1$，因此

这表明 $(1 + u_i)$ 是可乘的（柯西准则）。

当所有$u_i$都是$\leq 0$时，证明类似。要证明如果 $(1 + u_i)$ 可乘，$(u_i)$ 是可求和的，请使用公式 (2) 和不等式 $1 - u \leq \frac{1}{1 + u}$ ($0 \leq u < 1$)；要证明如果 $(u_i)$ 可求和，$(1 + u_i)$ 是可乘的，请使用公式 (3)。

在章V（§ 4）中，群$\mathbf{R}^*$的拓扑研究将使我们能够借助对数函数给出$\mathbf{R}^*$中族可乘性的另一个准则；在下一卷中，我们将利用对数的微分性质，将这一标准与上述标准建立等价。

对于有向集合$\mathfrak{F}(I)$到$\overline{\mathbf{R}}$的映射$H \to s_H$是*递增*；因此 (§ 5, no. 2, 定理 2) 有极限。

同样的推理表明实数$\leq 0$的每个族都可以在$\overline{\mathbf{R}}$中求和。

类似地，乘法是合成在 $[0, 1]$ 和 $[1, + \infty]$ $\overline{\mathbf{R}}$ 上的结合律和交换律律，因此可乘族的概念是在这些间隔中的每一个上定义的。

与命题 2 相同的证明。

因为如果 $\sum u_i$ 是有限的，则 $\prod (1 + u_i)$ 和 $\prod (1 - u_i)$ 在 $\mathbf{R}^*$ 中，反之亦然（no. 4，定理 4）。

这是从章 III, § 5, no. 7、命题 9 和定理 3 of no. 2 得出的。

在其他字中，如果$(u_n)$是有限实数的序列，那么说级数其一般项是$u_n$交换收敛，或者绝对收敛，或者序列是同样的事情$(u_n)$ 可在 $\mathbf{R}$ 中求和。因此，章III, § 5证明的可求和族的所有性质都适用于绝对收敛级数。特别地，如果项为 $u_n$ 的级数绝对收敛，则和$\sum_{n \in H} u_n$对于$\mathbf{N}$的所有子集$H$都存在；并且，如果 $(H_p)$ 是 $\mathbf{N}$ 的划分，我们有

（绝对收敛级数的结合性）。

正如我们在章III, § 5中已经说过的，实数的级数可以收敛，但无需交换收敛，即不绝对收敛。

这是从上面的章 III, § 5, no. 7、命题 9 和定理 4 得出的。

此外，当且仅当一般因子为 $1 + u_n$ 的乘积 绝对收敛，当且仅当项为 $u_n$ 的级数 绝对收敛。

非零实数的乘积可以收敛，但不可交换收敛，即不绝对收敛。