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5. 实值函数

1. 实值函数

通过滥用与§ 4, no. 2中提到的类似的语言，$X$到$\overline{\mathbf{R}}$的映射也将被称为在此和下面的截面中定义在$X$上的实值函数。 $X$到$\mathbf{R}$的映射将被称为有限实值函数。

如果$f$和$g$是在$X$上定义的两个实值函数，则关系$f \leq g$乘以定义相当于“对于所有$x \in X$来说$f(x) \leq g(x)$；”这个关系是$X$上所有实值函数在集合$\overline{\mathbf{R}}^X$上的排序。按此关系排序集合$\overline{\mathbf{R}},^X$，是一个格子；因为如果$f$和$g$是由$h(x) = \sup (f(x), g(x))$定义的任意两个实值函数、函数$h$，则所有$x \in X$是$X$上的实值函数的最小的，它们都是$\geq f$和$\geq g$；根据一般记号，我们用$\sup (f, g)$表示这个函数（$f$和$\overline{\mathbf{R}}^X$中的$g$中最小的上界）。类似地，每个$x \in X$处的值为$\inf (f(x), g(x))$的函数用$\inf (f, g)$表示。

$\sup (f, g)$是映射的合成的注

A real-valued function $f$ defined on a set $X$ is said to be bounded above (resp. bounded below) in $X$, if $f(X)$ is a subset of $A'' = [-\infty, +\infty]$ and is bounded above (resp. if $f(X)$ is a subset of $A' = ]-\infty, +\infty]$ and is bounded below). $f$ is said to be bounded in $X$ if it is bounded both above and below, that is if $f(X)$ is a bounded subset of $\mathbf{R}$.

因此，每个有界函数都是*有限*。 逆命题为假，如$\mathbf{R}_+^* = ]0, +\infty[$上的函数$1/x$所示。

2. 在过滤的集合上定义实值函数

3. 极限位于实数变量函数的右侧和左侧

令$A$为$\overline{\mathbf{R}}$的非空子集，令$a \neq -\infty$为$\overline{\mathbf{R}}$的点，位于集合$B = A \cap [-\infty, a[$的闭包中。 集合$B$相对于关系$\leq$有向，其截面滤波器$\mathfrak{F}$与$\overline{\mathbf{R}}$中$a$的邻域滤波器在$B$上的踪迹相同。

(*) 这个叙述隐含地假设$X$中的排序被写成$x \leq y$。 如果将这个关系写成$x(\sigma) y$，其中$(\sigma)$是关系所设想的某个符号或群特征符号，则叙述中的字“定向”必须替换为“相对于$(\sigma)$定向”。

同样，如果$a$在集合$A \cap ]a, + \infty]$的闭包中，我们在点$a$处$f$右侧*（如果存在）定义一个*极限，并将其表示为

下面的命题是定理2的直接的推论：

4. 实值函数的界限

特别是，如果 A 是 $\overline{\mathbf{R}}$ 的非空子集，则

数 $a = \sup_{x \in A} f(x)$ 具有以下两个性质： (i) 对于所有$x \in A, f(x) \leq a$。 (ii) 对于每个$b < a$，都存在$x \in A$使得$b < f(x) \leq a$。

数$\sup_{x \in A} f(x)$和$\inf_{x \in A} f(x)$属于到$\overline{\mathbf{R}}$*关闭*$f(A)$。我们有$\inf_{x \in A} f(x) \leq \sup_{x \in A} f(x)$；当且仅当 $f$ 在 A 上是*常数*时，这两个数*相等*。

定义在集合 X 上的实值函数，在 X 的非空子集 A 中*上界*（分别*下界*）当且仅当 $\sup_{x \in A} f(x) < + \infty$ [分别*下界*]。 $\inf_{x \in A} f(x) > -\infty$]。 $f$ 在 A 中是有界的当且仅当$|f|$ 在 A 中有界，因此当且仅当$\sup_{x \in A} |f(x)| < + \infty$。

我们有

这关系约化下确界的所有属性到最小上界的属性；因此，一般来说我们只讨论后者。

5. 真正有价值的家庭信封函数

因此，族$(f_i)$的上包络线是在$X$上定义的实值函数的格子$\overline{\mathbf{R}}$中该族的最小上界，并且这证明记号$\sup_{i \in I} f_i$是合理的。

此外，如果我们赋予$\overline{\mathbf{R}}^X$以拓扑，即其因子拓扑的乘积（与$\overline{\mathbf{R}}$相同），我们有以下命题：

因此，当且仅当该族的上包络线在 $X$ 中上界时，$(f_i)$ 统一在 $X$ 中上界。 $(f_i)$ 统一有界于 $X$ 当且仅当族 $(|f_i|)$ 的上包络线在 $X$ 中上界 [即当且仅当存在有限实数 $a \geq 0$，使得 $|f_i(x)| \leq a$ 对于所有 $x \in X$ 和所有 $i \in I$]。

6. 相对于过滤器的实值函数的上部极限和下部极限

令 $f$ 为在集合 $X$ 上定义的实值函数，并由过滤器 $\mathfrak{G}$ 过滤。 $\mathfrak{G}$ 相对于关系 $\supseteq$ (章 I, § 6) 而言是有向集合。对于每个$M \in \mathfrak{G}$考虑实数$\sup_{x \in M} f(x)$：我们将$\mathfrak{G}$的函数$M \to \sup_{x \in M} f(x)$放入$\overline{\mathbf{R}}$，即$\mathfrak{G}$上的递减函数，乘以命题7 no. 4。因此，通过no. 2的定理2，它相对于有向集合$\mathfrak{G}$有极限。

$f$相对于滤波器$\mathfrak{G}$的*下极限*的定义类似，并用$\lim \inf_{\mathfrak{G}} f$或$\lim \inf_{x, \mathfrak{G}} f(x)$表示。因此我们有

(10)

通常，过滤器$\mathfrak{G}$会被记号抑制，并且在不存在混淆风险的情况下，我们简单地写为$\lim \sup f$或$\lim \sup_{x} f(x)$或$\lim \sup f(x)$。

从公式 (10) 和定理 1 我们有

(11)

通过定理 2 of no. 2 我们也可以写

(12)

我们也可以通过 $\mathfrak{G}$ 的任何 基 $\mathfrak{B}$，在公式 (10) 和 (12) 的右侧进行替换过滤器 $\mathfrak{G}$。

由(2)和(10)可知，

因此我们只需要考虑上面的极限。

7. 实值函数上的代数运算

令$f$和$g$为定义在集合$X$上的两个实值函数；如果和 $f(x) + g(x)$ [分别。 乘积 $f(x)g(x)$] 是为所有 $x \in X$ 定义的，那么我们用 $f + g$（或 $fg$）表示实值函数

因此，如果 $f$ 不采用值 0，则定义最后一个函数；当$f$在区间$[0, +\infty]$（分别在$[-\infty, 0]$）$1/f(x)$中取其值时，如通过放置$1/0 = +\infty$（分别在$1/0 = -\infty$）定义的任何地方；在这种情况下，定义了函数$1/f$。

假设$X$被过滤器$\mathfrak{F}$过滤，并且存在$\lim_{\mathfrak{F}} f$和$\lim_{\mathfrak{F}} g$。 If on the one hand the function $f + g$ (resp. $fg$, $1/g$) is defined, and if on the other hand the expression $\lim_{\mathfrak{F}} f + \lim_{\mathfrak{F}} g$ (resp. $\lim_{\mathfrak{F}} f \cdot \lim_{\mathfrak{F}} g$, $1/\lim_{\mathfrak{F}} f$) has a sense, then $\lim_{\mathfrak{F}} (f + g)$ [resp. $\lim_{\mathfrak{F}} fg$, $\lim_{\mathfrak{F}} (1/f)$] exists and is equal to this expression by reason of the continuity of the function $x + y$ (resp. $xy$, $1/x$) at points where it is defined.