§ 6. 连续和半连续实值函数

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6. 连续和半连续实值函数

1. 连续实值函数

除了任意拓扑空间 (章 I, § 2) 中连续函数和值的一般性质外，连续实值函数还具有以下两个基本性质：

定理 1（威尔斯特拉斯） 0BSF

令 $f$ 为定义在非空准紧空间 $X$ 上的连续实值函数。那么至少有一个点 $a \in X$ 使得 $f(a) = \sup_{x \in X} (f(x))$ ，并且至少有一个点 $b \in X$ 使得 $f(b) = \inf_{x \in X} f(x)$ 。因为 $f(X)$ 是紧致的 (章 I, § 9, no. 4, 定理 2)，因此在 $\overline{\mathbf{R}}$ 中闭合；因此 $f(X)$ 包含它的界限。

引用了 1 · 被以下引用 5

引用了定理 2, I § 9

被以下引用定理 1（盖尔范德-马祖尔）, AC VI § 6, 推论, 习题 3, § 2, 注, IX § 2, 习题 2, § 2

这个定理经常在形式中表述，非空拟紧空间上的连续实值函数达到其界限。

推论 0BSG

如果在非空准紧空间 $X$ 上定义的实值函数在 $X$ 上是连续且有限的，则它在 $X$ 内有界。

定理 2（博尔扎诺） 0BSH

令 $f$ 为定义在连接的空间 $X$ 上的连续实值函数。如果 $a$ 和 $b$ 是 $X$ 中的任意两个点，并且如果 $\alpha$ 是实数属于到端点为 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的闭区间，则至少有一个点 $x \in X$ 使得 $f(x) = \alpha$ 。

引用了 3 · 被以下引用 1

引用了命题 4, I § 11, 命题 5, IV § 4, 习题 2, § 6

被以下引用定理 1, VIII § 1

因为 $f(X)$ 是连通的 (章 I, § 11, no. 2, 命题 4)，因此是 $\overline{\mathbf{R}}$ (§ 4, no. 2, 命题 5) 的区间；因此它是包含，端点为 $f(a)$ 和 $f(b)$ 的闭区间。

这个定理通常用形式来表示，即连接的空间不能上的连续实值函数从一个值传递到另一个，而无需经过通过所有中间值*。

这个性质绝不是连续函数的特征；在连接的空间上定义了函数的例，并且*在每个点*处不连续，其中有这个性质（习题2）。

2. 半连续函数

令 $f$ 为定义在拓扑空间 $X$ 上的实值函数。要使 $f$ 在点 $a \in X$ 连续，满足以下条件是充分必要的： (i) 给定任何实数 $h < f(a)$ ，存在 $a$ 的邻域 $V$ ，使得在每个点 $x \in V$ 我们有 $h < f(x)$ ； (ii) 给定任何实数 $k > f(a)$ ，存在 $a$ 的邻域 $W$ ，使得在每个点 $x \in W$ 我们有 $k > f(x)$ 。

函数，其中满足*其中只有一个*条件在数学分析中发挥重要的部分作用。准确地说，我们做了以下定义：

定义 1 0BSI

实值函数 $f$ ，定义在拓扑空间 $X$ 上，据说是下半连续*（或*上半连续*）*在点 $a \in X$ ，如果对于每个 $h < f(a)$ [或。每个 $k > f(a)$ ]都有邻域 $V$ / $a$ ，这样 $h < f(x)$ [分别。 $k > f(x)$ ] 每个 $x \in V$ 。

被以下引用 1

被以下引用习题 10, § 6

实值函数被称为下半连续（或*上半连续*）*在 $X$ 上，如果它是下半连续*（或*上半连续*）*在 $X$ *的每个点*。

因此，实值函数 $f$ 在点 $a$ 处*连续*当且仅当它在 $a$ 处*上半连续*和下半连续*。

如果 $f$ 在点处是下半连续，则 $-f$ 在点处是上半连续，反之亦然；因此，我们可以在接下来的内容中限制自己，只考虑*下半连续*函数的性质。

很明显，在 $X$ 上是下半连续的函数在 $X$ 的每个*子空间*上也是下半连续的。

例 1 0BSJ

如果 $f$ 在点 $a$ 有一个*相对最小值*，也就是说，如果 $a$ 有邻域 $V$ ，这样，对于每个 $x \in V$ ，我们有 $f(a) \leq f(x)$ ，那么 $f$ 是下半连续的 $a$ 。特别是，如果 $f(a) = -\infty$ ，则 $f$ 在 $a$ 处是下半连续的。

例 2 0BSK

定义 $\mathbf{R}$ 上的实值函数 $f$ ，如果 $x$ 是无理数，则放入 $f(x) = 0$ ；如果 $x$ 是有理数且等于不可约分数 $p/q$ ，则放入 $f(x) = 1/q$ （ $q > 0$ ）。对于每个整数 $n > 0$ ，有理数 $p/q$ 的集合使得 $q < n$ 是封闭的，并且其点是孤立的；因此，对于每个无理数 $x$ ，邻域 $V$ 为 $x$ ，使得 $f(y) \leq 1/n$ 对于所有 $y \in V$ ，这表明 $f$ 在 $x$ 连续；另一方面， $f$ 在每个有理数点 $x$ 处都有一个“相对最大值”。因此 $f$ 是 $\mathbf{R}$ 上的上半连续。

对于 $f$ 在 $a$ 处的下半连续，条件可以用说来表示，对于每个 $h < f(a)$ ，集合 $\overline{f}([h, +\infty])$ 必须是 $a$ 的邻域。

对于倾向于 $f(a)$ 的实数 $< f(a)$ 的递增序列 $(h_n)$ 来说，这个条件就足够了。

将 $\overline{\mathbf{R}}$ 赋予拓扑，其中开集合为 $\varnothing$ ，并且 $\overline{\mathbf{R}}$ 的所有开区间在右侧无界（即有限 $a$ 的所有区间 $]a, +\infty[$ ，以及区间 $[--\infty, +\infty] = ]\leftarrow, \rightarrow[]$ ）。那么实值函数 $f$ 在 $a$ 处是下半连续的当且仅当它在 $a$ 处连续时，将映射考虑到赋予此拓扑的 $\overline{\mathbf{R}}$ 。

命题 1 0BSL

拓扑空间 $X$ 上的实值函数 $f$ 是下半连续当且仅当，对于每个有限实数 $k$ ， $\overline{f}([k, +\infty])$ [所有 $x \in X$ 的集合使得 $f(x) > k$ ] 是 $X$ 中的开集合 [或者，等效地， $\overline{f}([-\infty, k])$ 是 $X$ 中的闭集合]。

被以下引用 3

被以下引用习题 10, § 6, 定理 3, 定理 2, IX § 5

对于这个条件表明 $\overline{f}([k, +\infty])$ 是其每个点的邻域。

为了使 $f$ 在 $X$ 上成为下半连续，对于所有实数 $k$ 属于到 $\mathbf{R}$ 的稠密子集， $f^{-1}([k, +\infty])$ 在 $X$ 中开路就足够了。

推论 0BSM

拓扑空间 $X$ 的子集 $A$ 在 $X$ 中是开（或闭）当且仅当其特征函数（*） $\varphi_A$ 在 $X$ 上是下（或上）半连续。

被以下引用 1

被以下引用命题 5, IX § 1

因为 $\overline{f}_A([k, +\infty])$ 对于 $k \geq 1$ 来说是空的，对于 $0 \leq k < 1$ 来说等于 $A$ ，对于 $k < 0$ 来说等于 $X$ 。

定理 3 0BSN

令 $f$ 为非空准紧空间 $X$ 上的下半连续函数。那么至少有一个点 $a \in E$ 使得 $f(a) = \inf_{x \in X} f(x)$ （在其他字中， $f$ 在 $X$ 中达到其下确界）。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了命题 1, E III § 5. 整数的特性

被以下引用习题 10, § 6

对于每个 $k \in f(X)$ ，请考虑集合 $A_k = \overline{f}([-\infty, k])$ 。这些集合非空，并且形式是 $X$ 上的过滤器基；因为它们被命题 1 封闭，所以它们至少有一个公共的点 $a$ [准紧空间的公理 (C'')]。因此，对于每个 $x \in X$ ，我们有 $f(a) \leq f(x)$ ，然后是定理。

(*) 我们记得（集合理论，章III, § 5, no. 5）集合 $X$ 的子集 $A$ 的特征函数 $\varphi_A$ 是在 $X$ 上定义的函数这样 $\varphi_A(x) = 1$ 代表所有 $x \in A$ ， $\varphi_A(x) = 0$ 代表所有 $x \in \complement_A$ 。

推论 0BSO

令 $f$ 为非空准紧空间 $X$ 上的下半连续函数。如果 $f(x) > -\infty$ 对于所有 $x \in X$ ，则 $f$ 的边界在 $X$ 内。

引用了 1

引用了定理 1（威尔斯特拉斯）

注，对于上半连续函数，此定理和相应的定理包括Weierstrass的定理作为特殊情况（no. 1，定理1）。

命题 2 0BSP

令 $f$ 和 $g$ 为两个实值函数，在点 $a \in X$ 处下半连续。那么函数 $\inf(f, g)$ 和 $\sup(f, g)$ 在 $a$ 处是下半连续；每当定义 $f + g$ 时，它也是如此；如果定义 $f$ 和 $g$ 是 $\geq 0$ 并且乘积 $fg$ ， $fg$ 也是如此。

被以下引用 1

被以下引用定理 4

我们给证明换取 $f + g$ ；这个论点在其他情况下也是类似的。如果 $f(a)$ 或 $g(a)$ 等于 $-\infty$ ，结果就清楚了；如果不是，则 $f(a) + g(a) > -\infty$ 。每个有限的数 $h < f(a) + g(a)$ 都可以写成 $h = r + s$ ，其中 $r < f(a)$ 和 $s < g(a)$ 是有限的[取 $s$ 就足够了 $h - f(a) < s < g(a)$ ]；到假设， $a$ 有邻域 $V$ ，这样，对于每个 $x \in V$ ，我们有 $r < f(x)$ ，并且邻域 $W$ ，这样对于每个 $x \in W$ ，我们有 $s < g(x)$ ；因此 $h = r + s < f(x) + g(x)$ 对于邻域 $V \cap W$ 中的所有点 $x$ 。

以同样的方式我们看到，如果 $f$ 在点 $a$ 处是下半连续，并且如果 $f \geq 0$ ，则 $1/f$ 在 $a$ 处是上半连续。

定理 4 0BSQ

函数的族 $(f_i)$ 的上包络线在点 $a \in X$ 处是下半连续，在 $a$ 处是下半连续。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 2

被以下引用习题 10, § 6, 定理 2, IX § 5

设 $g$ 为上层信封。对于每个 $h < g(a)$ ，有指标 $i$ 使得 $h < f_i(a) \leq g(a)$ ，以及 $a$ 的邻域 $V$ 使得 $h < f_i(x)$ 对于所有 $x \in V$ ；因此，对于所有 $x \in V$ ， $a$ 更不必说 $h < g(x)$ 。

从命题 2 可以得出，下半连续函数的有限数的下包络线同样是下半连续；但对于下半连续函数的无限族的下包络线来说，这通常不是正确的。对于例，如果 $r$ 是任何有理数数，则让 $f_r$ 表示函数，它在 $r$ 等于0，并且对于所有实数 $x \neq r$ 等于1； $f_r$ 的下包络为函数 $g$ ，对于每个有理数数等于 0，对于每个无理数数等于 1（“狄利克雷函数”），并且这个函数在无理数处不是下半连续的点。

推论 0BSR

空间 $X$ 上的连续实值族函数的上包络线在 $X$ 上是下半连续的。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 5, IX § 1

被以下引用 IX § 1. 伪测量学家族的均匀性的产生；统一空间

在章 IX, § 1, no. 6、命题 5 中，我们将证明，如果 $X$ 是可统一的（并且仅在这种情况下），则此命题的逆命题为真：可统一的空间上的每个下半连续函数是连续族的上包络线函数。

命题 3 0BSS

实值函数 f，在拓扑空间X上定义，当且仅当* $\liminf_{x \to a} f(x) = f(a)$ 时在点 $a \in X$ 处是下半连续的[或者，等效地，当且仅当 $\liminf_{x \to a} f(x) \geq f(a)$ ]。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 IV § 5. 实值函数

被以下引用命题 4

条件是*必要的*。因为，给定任何 $h < f(a)$ ， $a$ 有邻域V，使得 $h < f(x)$ 对于所有 $x \in V$ ；因此

h \leq \inf_{x \in V} f(x) \leq \liminf_{x \to a} f(x)

（§ 5, no. 6，公式（12）），等等

f(a) \leq \liminf_{x \to a} f(x)

。条件*足够*；因为如果满足，则对于每个

h < f(a)

，

a

都有邻域V，使得

h \leq \inf_{x \in V} f(x)

，因此

f

在

a

处是下半连续的。

命题 4 0BST

设 f 是在拓扑空间 X 的稠密子集 A 上定义的任意实值函数。如果对于每个 $x \in X$ ，我们放置* $g(x) = \liminf_{y \to x, y \in A} f(y)$ ，*则 g 在 X* 上是下半连续的。

引用了 1

引用了命题 3

因为，给定任何 $h < g(x)$ ，都存在 $x$ 的*开*邻域V，这样，对于所有 $z \in V \cap A$ ，我们有 $h < f(z)$ ；现在 V 是其每个点 $y$ 的邻域；因此，我们对所有 $y \in V$ 都有 $\liminf_{z \to y, z \in A} f(z) = g(y) \geq h$ ，结果如下。

函数 $g$ 称为 $f$ 的*下半连续正则化*。我们类似地对定义 $f$ 进行*上半连续正则化*。

我们也可以将定义 $g$ 作为X上下半连续函数 $\varphi$ 的*最大的*，对于所有 $x \in A$ 来说 $\varphi(x) \leq f(x)$ 。如果 $f$ 是 A 上的*下半连续*，则 $g$ 是 $f$ 到 X 命题 3 的扩张。

习题

参见习题为 § 6。