习题 3, § 2

a) 令 $X$ 为紧凑度量空间。如果每个开球的$X$中的闭包是相同中心和半径的闭球，则$X$中的每个球都是连通的集合[如果$x$和$y$是$X$的两个点，并且如果$S$是闭球中心 $x$ 和半径 $d(x, y)$，显示对于 $S$ 的点的每个 $\varepsilon > 0$ 集合 $A_{y, \varepsilon}$，可以通过 $S$ 中包含的 $V_\varepsilon$ 链连接到 $y$ (章II, § 4, no. 4)包含点$z$使得$d(x, z) < d(x, y)$]。通过矛盾论证并使用 Weierstrass 的定理 (章 IV, § 6, no. 1, 定理 1) 推论出 $x \in A_{y, \varepsilon}$ 对于所有 $\varepsilon > 0$。

b) 在空间 $Y = \mathbf{R}^2$ 中，公制

令$X$为所有点$(x_1, x_2)$的紧凑子空间由……组成，使得$x_1 = 0$和$0 \leq x_2 \leq 1$，或$0 \leq x_1 \leq 1$和$x_2 = 0$。证明$X$中的每个球都是连通的，但开球的闭包不一定是具有相同中心和半径的闭球。