§ 1, no. 3的命题 1表明$\overline{d}$是$\hat{X}$上的有限伪度量，$\overline{d}$在$\hat{X}$上定义的均匀性是完成得到的均匀性；由于后一个均匀性是 Hausdorff，因此 $\overline{d}$ 是一个*度量*。每当我们将度量空间$X$视为度量空间时，总是可以理解，$\hat{X}$上的度量是通过连续性扩展$X$上的度量而获得的。

因为$d(x, A) = 0$表达了球$V_a(x)$满足$A$无论$a > 0$的值的事实；这相当于$x \in \overline{A}$。

令$x$和$y$为$X$中的任意两个点；那么给定任何$\varepsilon > 0$，都存在$z \in A$使得$d(y, z) \leq d(y, A) + \varepsilon$，因此

由三角形不等式。

更不必说 $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A) + \varepsilon$，由于$\varepsilon$是任意的，因此$d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$。同样我们有

这样 从而结果如下。

令$a$为$\overline{X}$中的任意点；那么对于每个$k > \omega(a; f)$，都存在$a$的开邻域$V$，使得$\delta(f(V \cap X)) \leq k$；对于每个 $x \in V \cap \overline{X}$，$V$ 是 $x$ 的邻域，因此

这表明$\omega$在点$a$处是上半连续的。

In order that $\omega(x; f) = 0$ at a point $x \in \overline{X}$ it is necessary and sufficient that for each $\varepsilon > 0$ there should exist a neighbourhood $V$ of $x$ such that $f(V \cap X)$ is contained in a ball of radius $\varepsilon$; if $x \in X$, this condition expresses the fact that $f$ is continuous at the point $x$ (with respect to $X$); if $x \in \overline{X} \cap \mathbf{C}X$, the image under $f$ of the trace on $X$ of the neighbourhood filter of $x$ in $Y$ is a Cauchy filter base on $X'$; in particular:

条件是*必要的*，对于一个度量空间的均匀性的随从过滤器的随从$V_{1/n} (n \geq 1)$形式基（与no. 2的记号）。

条件是*足够的*，因为，如果满足，则所考虑的均匀性由单个伪度量定义，即 § 1, no. 4 的命题 2；由于均匀性是 Hausdorff，因此该伪度量是度量。

因为如果$(f_n)$是定义此类结构的伪计量学的序列，则随从过滤器由集合$\overline{f}_n^1([0, 1/m])$的可数族生成，其中$m$和$n$各自穿过整数$> 0$的集合。

对于这样的空间是豪斯多夫（Hausdorff），其均匀性具有可数的基本随从系统（章II, § 2, no. 6）。

更一般地说：

令 $d$ 为与可度量空间 $X$ 的拓扑兼容的度量。如果$A$是$X$的闭子集，则它是开集合$V_{1/n}(A)$的交[所有$x \in X$的集合使得$d(x, A) < 1/n$； cf.命题2]。 命题的第二个部分接下来是取补码。

我们已经从章 I, § 7, no. 3 知道条件 足够。要看出它是*必要的*，请考虑$x$的邻域的可数基本系统$(V_n)$，使得每个$n$都有$V_{n+1} \subset V_n$。如果$x$位于$A$的闭包中，则每个$V_n$满足$A$，并且如果$x_n$位于$V_n \cap A$，则序列$(x_n)$收敛到$x$(**)。

从命题 8 我们推导出：

令 $\hat{X}$ 为 $X$ 的补全。如果存在点$x \in \hat{X}$不属于到$X$，那么$X$的点有序列$(x_n)$收敛到$x$，这是一个非收敛柯西$X$ 中序列。

条件是必要的，从章I, § 7, no. 4，命题9，推论1。为了证明它是充分的，考虑$X'$中$f(a)$的邻域的过滤器$\mathscr{B}'$； 假设意味着$\overline{f}^{-1}(\mathscr{B}')$比每个与序列相关的收敛到$a$的基本滤波器更粗糙，也就是说每个收敛到$a$的基本滤波器；但是

() 参见 J. Dieudonné, 注 de Tératopologie (I), Revue scientifique (Revue Rose), 1939, p. 39。 (*) 这个命题在某些空间中仍然有效，其中至少有一个点不具有邻域的任何可数基本系统；对于例，空间是通过在无穷大处邻接点来压缩不可数离散空间而获得的（章I, § 9, no. 8，定理4）。

这些过滤器中的交是$a$的邻域过滤器（章I, § 6, no. 8，命题11）。于是就有了这样的结果。

注命题 8 和 10 在任何空间 $X$ 中有效，其中每个点都有邻域的可数基数系统。

通过转移结构，我们可以假设$a = 0$和$b = 1$。

(i) 首先假设$f = \varphi_A$，其中$A$是$X$的开子集。那么$g_n(x) = n \inf (d(x, X - A), 1/n)$定义的函数$g_n$是连续的，$\geq 0$在$X$上；还有 $g_n(x) = f(x)$ 当 $x \in X - A$ 以及当

紧随其后的是$f = \sup_n (g_n)$。

(ii) 在一般情况下，考虑对于每个整数$n \geq 1$，开集合的有限递减序列

函数 $g_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \varphi_{A_k}$ 是下半连续，对于所有$n$，我们都有$0 \leq f(x) - g_n(x) \leq 1/n$；因此$f$是序列$(g_n)$的上包络线。另一方面，$g_n$是线性组合，具有开集合的特征函数的有限数的正系数，因此是连续函数$\geq 0$的可数序列$(h_{mn})_{m \geq 0}$的上包络线，通过(i)；因此$f = \sup_{m,n} h_{mn}$。如果我们把 我们看到序列$(f_n)$是连续函数$\geq 0$的递增序列，以$f$为上包络线，并且从$g_n \leq n - 1/n$开始不取值1。

a) X 是可数的型。 b) X 具有可数稠密子集。 c) *X同胚于立方体$\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$的子空间，其中$\mathbf{I}$是$\mathbf{R}$中的区间$[0, 1]$。

从前面的注可以清楚看出，c) 蕴含着 a)； a) 蕴含 b)，因为如果 $(U_n)$ 是 X 的拓扑的可数基，并且 $a_n$ 是 $U_n$ 的点，则 $a_n$ 形式的稠密子集 X。最后让我们证明 b) 蕴涵 c)。令$(a_n)$为X的点的稠密序列，对于每个$x \in X$，令$\varphi(x)$为$\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$的点$(d(x, a_n))_{n \in \mathbf{N}}$（$d$是与拓扑兼容的度量） X，相对于X的直径为$\leq 1$）。我们将证明$\varphi$是X到$\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$的子空间的同胚。事实上，$\varphi$是连续的，因为函数$x \to d(x, a_n)$都是连续的；并且$\varphi$是单射的，因为X的每个点都是$(a_n)$（命题8）的某个子序列的极限。设 B 为一个球，其尺寸为中心 $x_0$，半径为 $r$，位于 X 内，并令 $n$ 为整数，使得

像在集合 W 的 $\varphi$ 下，点 $x \in X$ 使得

是由$\varphi(X)$中$\varphi(x_0)$的定义邻域。但是对于每个$x \in W$，我们有$d(x, a_n) < d(x_0, a_n) + \frac{1}{3} r < \frac{2}{3} r$，从而

这表明W是B中包含的$x_0$的邻域，因此$\varphi$是X到$\varphi(X)$的同胚。

注对于任意拓扑空间 X，性质 b) 并不一定意味着存在可数基，即使X是紧的并且X的每个点都有一个可数系统邻域 （习题13；cf.章I, § 1，习题7）。

设 H 为子集 N 由……组成指标 n，使得 U_n 包含在 V_i 的至少一个中； 序列 (U_n)_{n \in H} 是 X 的覆盖，因为每个点 x \in X 属于到某个 V_i，并且由于 V_i 是开放的，因此存在指标 n 使得 x \in U_n \子集 V_i。因此，在 I 中存在映射 $\psi$，使得对于 H 中的每个 n \，U_n \子集 V_{\psi(n)}；取J = $\psi(H)$，可数，命题得证。

如果我们邻接假设 X 是“完整的”，我们就有了度量空间的“紧凑性”标准。

从命题 14 我们得到一个紧凑性的“拓扑”标准，适用于可度量的空间：

章 I, § 9, no. 1 的公理 (C) 表明条件是*必要的*。为了显示*充分性*，让 d 成为与拓扑或 X 兼容的度量。我们首先证明这样定义的度量空间X是*完整的*：X中的每个柯西序列都有一个集群点，因此是收敛的（章II, § 3, no. 2，命题5，推论2）；因此X在命题 9时是完整的。接下来我们将证明X是*预紧式*；如果不是这样，那么到命题 14 时，将存在实数 $\alpha > 0$，使得 X 无法被直径为 $\leq \alpha$ 的 X 的子集的任何有限数覆盖。然后，我们可以在 n 上对所有 $p < n$ 进行定义归纳点 X 条件 $d(x_p, x_n) > \frac{1}{2} \alpha$ 的无限序列 $(x_n)$；并且这样的序列不能有簇点，因为每个半径为$< \frac{1}{2} \alpha$包含的球最多只能有序列中的一个点。

令 d 为与拓扑或 X 兼容的度量。我们将通过应用命题 15 的判据证明空间 $\overline{A}$ 是紧致的。令$(x_n)$ 为$\overline{A}$ 的点序列；那么对于每个指标 n 都存在 $y_n \in A$ 使得 $d(x_n, y_n) < 1/n$； 序列$(y_n)$，到假设有一个簇点$a \in X$，并且a也是序列$x_i$的簇点，因为如果$y_m$位于具有中心$a$的球中并且半径 $1/n$，对于某些 $m > n$，则 $x_m$ 位于具有中心 $a$ 和半径 $2/n$ 的球内。

需要注意的是，命题 15 并不是推论，邻域的可数基本系统在$X$的每个点处存在；有例不可计量、非紧的空间，其中每个点都有一个邻域的可数基本系统，点的每个无限序列都有一个簇点（习题15）。

条件是*必要的*。到命题 14，对于每个整数$n \geq 1$，$X$有有限子集$A_n$，使得$A_n$到$X$的每个点的距离为$\leq 1/n$；因此，可数集合 $A = \bigcup_n A_n$ 在 $X$ 中是稠密的，结果是从 no. 8 的命题 12 得出的。

条件*足够*。设$(U_n)$是$X$的拓扑的可数基。 $X \times X$的对角线$\Delta$每点邻域因此形式$U_n \times U_n$包含邻域； 应用 Borel-Lebesgue 公理到 $X \times X$ 的紧子集 $\Delta$，因此 $\Delta$ 包含的每个邻域是形式集合的有限并 $U_n \setminus U_n$，即 $\Delta$ 的邻域。因此，$\Delta$的邻域是有限的，形式$U_n \times U_n$形式集合并是$X$均匀性的基本系统（章） II, § 4, no. 1, 定理 1)，因此结果来自no. 4的定理 1。

a) $X$的拓扑有一个可数的基。 b) $X'$ 可度量。 c) $X$ 可度量且$\sigma$-紧凑。

$a \Longrightarrow b$：令$U_n$为$X$的拓扑的可数基。 点 $x \in X$ 包含的每个邻域都是$x$ 的紧凑邻域，而$x$ 的包含邻域又等于一些$U_n$。因此，$U_n$、形式、基、拓扑和$X$相对紧凑，因此我们可以假设所有$U_n$都是相对紧凑的。因此，$X$是紧集$\overline{U}_n$的可数并，即它是$\sigma$紧；这意味着 $X'$ 点 $\omega$ 具有开放邻域的可数基本系统 $V_n$（章 I, § 9, no. 9，命题 15，推论 2）。因此，点$y \in X'$包含中的每个邻域要么是$U_n$之一，要么是$V_n$之一，即$y$中的邻域，因此$U_n$和$V_n$ 形式拓扑 $X'$ 的可数基。因此 $X'$ 可以通过命题 16 来度量。

b) $\Longrightarrow c)$：如果 $X'$ 可度量，则 $\omega$ 的可数基数系统为邻域，因此 $X$ 是 $\sigma$-紧致章 I, § 9, no. 9、命题 15，推论 2。

c) $\Longrightarrow a)$：到假设，有递增序列$(V_n)$相对紧凑的开放集合覆盖$X$并且使得$\overline{V}_n \subset V_{n+1}$（章I, § 9, no. 9，命题） 15）。 子空间 $\overline{V}_n$ 是紧凑且可度量的，因此具有可数基 (命题 16)，因此 $V_n$ 也是可数的。令$(U_{mn})_{m \geq 1}$为$V_n$的拓扑中的基。对于$x \in X$和$x$的每个邻域$W$，存在$n$使得$x \in V_n$，因此存在$m$使得$x \in U_{mn} \subset V_n \cap W$。因此集合$U_{mn}$($m \geq 1, n \geq 1$)形式基拓扑$X$。

同样，如果 $f$ 是紧凑可度量化空间 $X$ 到 Hausdorff 空间 $X'$ 的连续映射，则 $f(X)$ 是 $X'$ (章) 的可度量化子空间 (章) I, § 9, no. 4，定理 2，推论 4)。

令$X$为紧凑可度量空间，并令$R$为$X$上的等价关系，使得$X/R$为Hausdorff。那么$X/R$是紧致的（章I, § 9, no. 4，定理2），因此到命题16就足以证明$X/R$的拓扑有一个可数的基。为此，我们使用 $R$ 是闭集（章 I, § 10, no. 4、命题 8）以及类 mod $R$ 是紧致的事实。令$\varphi$为$X$的典范映射到$X/R$，并令$(U_n)$为$X$的拓扑的可数基。令$z$为$X/R$中的任意点，并令$V$为$X/R$中$z$的邻域；那么$\overline{\varphi}^{-1}(V)$就是紧集$\overline{\varphi}^{-1}(z)$中的$X$中的邻域。如果 $x$ 是 $\overline{\varphi}^{-1}(z)$ 中的任意点，则存在集合 $U_n$ 包含于 $x$ 且包含在 $\overline{\varphi}^{-1}(V)$ 中，因此根据 Borel-Lebesgue 公理，存在有限开覆盖 $(U_{n_k})_{1 \leq k \leq r}$ $\overline{\varphi}^{-1}(z)$，如果$W$表示$\bigcup_k U_{n_k}$，则$W$是$\overline{\varphi}^{-1}(V)$中包含的$\overline{\varphi}^{-1}(z)$的邻域。由于$R$是闭集，因此$\varphi(W)$是$X/R$中$z$的邻域，包含在$V$中（章I, § 5, no. 4，命题10）。令$\mathscr{B}$表示形式$\varphi(W)$集合的内部集合，其中$W$贯穿形式集合所有有限并的集合$\mathscr{F}$ $U_n$；然后我们证明了$\mathscr{B}$是$X/R$的拓扑的基，并且由于$\mathfrak{F}$是可数的，所以$\mathscr{B}$也是可数的。

令 $\mathscr{B}_1$ 为 $X$ 中半径为 $1/2$ 的所有开球的集合。由于$B$穿过$\mathscr{B}_1$，集合$\varphi(B)$形式是$K$的开覆盖，因此存在点$x_1, \ldots, x_m$的有限数$X$使得像在半径为 $1/2$ 和中心的开球的 $\varphi$ 下 $x_i$ ($1 \leq i \leq m$) 形式 $K$ 的开敞覆盖物。让 $H_1 = \{ x_1, \ldots, x_m \}$ 并假设我们已经为 $1 < i \leq n$ 定义了一个有限的集合 $H_i$，这样：

(i) $H_i \subset H_{i+1}$ 和 $H_{i+1}$ 中的每个点与 $H_i$ 的距离为 $< 1/2^i$，对于 $1 \leq i \leq n - 1$；

(ii) 像位于半径为$1/2^i$的开球的$\varphi$下方，其中中心位于$H_i$的点处，形式为$K$的开敞覆盖物，对于$1 \leq i \leq n$。

令$\mathscr{B}_{n+1}$为半径为$1/2^{n+1}$的所有开球的集合，其中心$x$使得$d(x, H_n) < 1/2^n$（$d$是$X$的度量）。 $H_n$的性质表明集合$\varphi(B)$，对于$B \in \mathscr{B}_{n+1}$，形式是$K$的开覆盖；因而，存在有限的集合$L_{n+1} \subset X$，使得像位于半径为$1/2^{n+1}$的开球的$\varphi$之下，其中心属于到$L_{n+1}$形式是$K$的开球覆盖物。 Taking $H_{n+1} = H_n \cup L_{n+1}$, we see that we can define inductively an infinite sequence $(H_n)$ of finite subsets of $X$ with properties (i) and (ii) above. 让$H = \bigcup_n H_n$，并让我们证明$H$是*预紧*。 对于每个$p > 0$和每个点$z_{n+p} \in H_{n+p}$，存在点$z_{n+i} \in H_{n+i}$（$0 \leq i \leq p - 1$）中的序列，使得

由此可见，$d(z_n, z_{n+p}) \leq \sum_{i=0}^{p-1} 1/2^{n+i} \leq 1/2^{n-1}$，因此对于所有$y \in H$，$d(y, H_n) \leq 1/2^{n-1}$，这证明了我们的断言。由于$X$是完备的，$\overline{H}$是紧致的，因而$\varphi(\overline{H})$是紧致的。接下来，让我们证明$K \subset \varphi(\overline{H})$。如果$z \in K$，则对于所有$n$，乘以定义$d(\overline{H}_n, \overline{\varphi}(z)) \leq 1/2^n$，因而$d(\overline{H}, \overline{\varphi}(z)) = 0$；但$\overline{\varphi}(z)$是闭集，$\overline{H}$是紧的，因此这意味着$\overline{H} \cap \overline{\varphi}(z) \neq \emptyset$（no. 2，注紧随命题3）；因此断言。因而，如果$K' = \overline{H} \cap \overline{\varphi}(K)$，则$K'$在$\overline{H}$中闭合，因此是紧凑的，并且根据已证明的，我们有$\varphi(K') = K$。

Q.E.D.