习题 15, § 2

令 $X = [a, b[$ 为章 I, § 9、习题 12 中定义的局部紧凑空间。

a) $X$ 的子集是相对紧的当且仅当它是有界的。因此表明 $X$ 是可数紧致的，因此 (命题 15) 是不可度量的（观察 $X$ 的每个可数子集都是有界的）。

b) 证明 $X$ 中的每个点都有一个可度量的邻域 (应用命题 16)。

c) 如果$A$和$B$是$X$中的两个非紧闭集合，则它们的交不为空（形式递增序列，其中偶数项是点 $A$和奇数项是$B$的点）。推断非紧闭集合的每个邻域都是相对紧集的补集。如果$A$是$X$非孤立点的集合，则表明$A$是闭集并且不是开集合的任何可数族的交。

d) 让 $X'$ 表示区间 $[a, b]$ 赋予以下拓扑：对于每个 $x \in X$ 区间 $]y, x]$，其中 $y$ 穿过元素 $< x$ 的集合，形式一个基本$x$邻域系统； $b$的邻域的基本系统由集合$V_x$形成，其中，对于每个$x \in X$，$V_x$表示$\{ b \}$的并和点的集合 $[x, b]$ 有一个前身（即，在$X$ 中*隔离*）。证明 $X'$ 是可数紧致的，但*不是正则* [cf. 习题 14 g)]，并且 $X'$ 的子空间 $X$ 是可数紧致，但*不闭合* [cf. 习题 14 c)]。