习题 23, § 2

如果拓扑空间的拓扑比可度量化空间的拓扑为更细，则称其为可子度量化。可子度量的空间是Hausdorff，但不一定是正则的（章I, § 8，习题20）。

a) 完全正则的空间$X$是可子度量的当且仅当$X$上存在一致性，与$X$的拓扑兼容并且由伪度量族$\Phi$定义，其中包含至少有一个度量$d$（cf.） § 1、习题 3)。令 $\hat{X}$ 为 $X$ 关于此均匀性的完成；将度量 $d$ 扩展转换为 $\hat{X}$ 上的伪度量 $\bar{d}$；表明对于每个$x \in \hat{X}$，至多有一个点$y \in X$，使得$\bar{d}(x, y) = 0$。

b) 证明如果 $X$ 是完全正则可子度量空间，则存在与 $X$ 的拓扑兼容的一致性，并且 $X$ 是完整的 [使用 $a$ 和 $§ 1$, 习题 16 c)]。因此证明如果加法$X$是伪紧的（$§ 1$，习题21），那么$X$是紧的。

c) 通过使用章 I, $§ 9$, no. 10, 定理证明局部紧致、准紧致、可子度量空间 $X$ 是可度量的（约化对于 $X$ 是 $\sigma$ 紧致的情况） 5；然后使用推论命题 16) [cf. $§ 5$, 习题 15]。