习题 12, § 4

令 $X, Y$ 为两个 Hausdorff 空间。

a) 假设$X$中有一个闭集合$A$，它不是开集合的可数交，并且$Y$有一个非闭的可数无限子集$B$。设$b \in \overline{B} - B$，并考虑$X \times Y$中的子集$C = A \times B,\ D = (X - A) \times \{ b \}$。证明$C \cap \overline{D} = \overline{C} \cap D = \varnothing$，但$X \times Y$的开子集不存在对$U, V$使得$C \subset U,\ D \subset V$和$U \cap V = \varnothing$。

b) 如果 $X \times Y$ 完全正规，则 (i) 空间 $X, Y$ 之一完全正规，或者 (ii) 空间 $X, Y$ 之一有性质，每个可数无穷子集都是闭合的 (cf. § 5， 习题16)。

c) 令$X = [a, b]$ 为不可数良序集，使得$[a, x[$ 对于每个$x < b$ 都是可数的。赋予$X$与拓扑，其中$\{x\}$对每个$x < b$和间隔$[x, b]$（$x < b$）形式开放，$b$的邻域的基本系统。证明 $X \times X$ 完全正常，但 $X$ 不完全正常。

d) 证明如果 $X$ 是紧致空间使得 $X \times X \times X$ 完全正规，则 $X$ 是可度量的（使用 § 2, no. 4 的定理 1）。