Exercice 12, § 4

a) Soient X un espace paracompact dont tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages, Y un espace normal semi-compact (IX, p. 93, exerc. 13). Montrer que le produit $X \times Y$ est normal. (Soient A, B deux parties fermées de $X \times Y$ sans point commun; pour tout $x \in X$, montrer qu’il existe un voisinage $U_x$ de x dans X et deux ensembles ouverts $V_x, W_x$ dans F, tels que $\overline{V_x} \cap \overline{W_x} = \varnothing$ et que pour tout $z \in U_x$, on ait $A(z) \subset V_x$ et $B(z) \subset W_x$; pour le voir on raisonnera par l’absurde. Soit $(T_\lambda)_{\lambda \in L}$ un recouvrement ouvert localement fini de X, plus fin que $(U_x)_{x \in X}$, et soit $(f_\lambda)$ une partition de l’unité subordonnée à $(T_\lambda)$; pour tout $\lambda \in L$, soit $x(\lambda)$ tel que $T_\lambda \subset U_{x(\lambda)}$, et soit $g_\lambda$ une application continue de Y dans $[0, 1]$, égale à 0 dans $\overline{V}_{x(\lambda)}$, à 1 dans $\overline{W}_{x(\lambda)}$; considérer dans $X \times Y$ la fonction $\sum_\lambda f_\lambda(x) g_\lambda(y)$). b) Soient $X = [a, b[$ l’espace localement compact défini dans l’exerc. 12 de I, p. 106, $Y = [a, b]$ l’espace compact obtenu par adjonction à X d’un point à l’infini; X est normal (IX, p. 102, exerc. 8) et semi-compact (IX, p. 94, exerc. 14), mais le produit $X \times Y$ n’est pas normal (utiliser l’exerc. 12 de I, p. 106).