习题 22, § 4

正则空间$X$是可度量的当且仅当存在$X$的开子集的局部有限族序列$(\mathscr{B}_n)$，使得$\mathscr{B} = \bigcup_n \mathscr{B}_n$是$X$的拓扑的基。 [要证明条件是必要的，请使用no. 5中的引理 3。为了证明它是充分的，首先使用引理 4、5和6来证明$X$是仿紧的。对于整数$m, n$的每个对和每个$U \in \mathscr{B}_m$，令$U'$为集合的并 $V \in \mathscr{B}_n$使得$\overline{V} \subset U$。显示$\overline{U'} \subset U$。令$f_U : X \to [0, 1]$为连续映射，在$X - U$上等于0，在$U'$上等于1，并让

表明 $X$ 的伪测量$d_{mn}$ 定义拓扑。 （“Nagata-Smirnov 的定理。”）特别是，每个正则空间以及可数基都是可度量的。