Bài tập 22, § 4

Cho $X$ là một không gian chính quy; bây giờ chứng minh rằng ba tính chất sau là tương đương: α) $X$ liên thông địa phương và nửa compact (IX, p. 93, Bài tập 13). β) Với mọi phủ mở hữu hạn của $X$, tồn tại một phủ mở hữu hạn mịn hơn, được tạo thành từ các tập hợp liên thông. γ) Với mọi phủ mở hữu hạn của $X$, tồn tại một phủ hữu hạn mịn hơn (không nhất thiết mở) được tạo thành từ các tập hợp liên thông. (Để thấy rằng γ) suy ra rằng $X$ liên thông địa phương, hãy lập luận như trong Bài tập 21 c). Để thấy rằng α) suy ra β), hãy lập luận bằng phản chứng: nếu $(U_j)$ là một phủ mở hữu hạn của $X$, hãy tạo bằng quy nạp theo j, một phủ mở $(V_\lambda)$ mà mỗi phần tử của nó là một thành phần liên thông của một trong các $U_j$, và trong đó không có $V_\lambda$ nào được chứa trong hợp của các phần tử còn lại; nếu $(V_\lambda)$ là vô hạn, hãy suy ra rằng $X$ sẽ không nửa compact).