Exercice 22, § 4

Soit X un espace régulier; montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes: α) X est localement connexe et semi-compact (IX, p. 93, exerc. 13). β) Pour tout recouvrement ouvert fini de X, il existe un recouvrement ouvert fini plus fin, formé d’ensembles connexes. γ) Pour tout recouvrement ouvert fini de X, il existe un recouvrement fini plus fin (non nécessairement ouvert) formé d’ensembles connexes. (Pour voir que γ) entraîne que X est localement connexe, raisonner comme dans l’exerc. 21 c). Pour voir que α) entraîne β), raisonner par l’absurde: si $(U_j)$ est un recouvrement ouvert fini de X, former par récurrence sur j, un recouvrement ouvert $(V_\lambda)$ dont chaque élément est une composante connexe de l’un des $U_j$, et où aucun des $V_\lambda$ n’est contenu dans la réunion des autres; si $(V_\lambda)$ est infini, en déduire que X ne serait pas semi-compact).