因为如果 $d$ 是 $Y$ 上的一个度量，并且与其一致的结构兼容，那么 $\mathscr{F}(X; Y)$ 上一致收敛的结构由单个伪度量定义

一般来说，这个伪度量不是有限的，但它等效于有限的伪度量（章IX, § 1, no. 2），并且由于一致收敛的均匀性是Hausdorff（§ 1, no. 2，命题1），因此它是可度量的。

由于$K_n$覆盖$X$，$\mathscr{F}_c(X; Y)$同构于$\prod_n \mathscr{F}_u(K_n; Y)$的均匀子空间（$§ 1$，no. 2，注3），因此推论来自命题1 （章IX, § 2, no. 4，定理1，推论2）。

注该推论特别适用于 $X$ 局部紧致且 σ 紧致（章 I, § 9, no. 9，命题 15，推论 1）。

现在让 $Y$ 成为空间的度量，并让 $d$ 成为它的度量。如果$X$是任何集合和$\mathscr{S}$任何集合或子集或$X$，我们将用所有映射$u : X \to Y$中的$\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$集合表示，使得对于每个$A \in \mathscr{S}$，$u(A)$都是*有界*的。 除非相反，我们明确地指出，我们将认为$\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ 具有$\mathscr{S}$收敛的一致性，这是由$\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$上的以下伪度量族定义的：

假设是“有限”的。当$\mathscr{S} = \{X\}$时，我们写$\mathscr{B}(X; Y)$来代替$\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$。如果属于到$\mathscr{B}(X; Y)$，即$u(X)$是$Y$的有界子集，则映射$u : X \to Y$被称为“有界”。

如果 $u$ 有界，那么每个映射 $v : X \to Y$ 使得对于所有 $x \in X$，我们有 $d(u(x), v(x)) \leq 1$ 有界，因为

因此$\mathscr{B}(X; Y)$是开放的。另一方面，如果$u$位于$\mathscr{F}_u(X; Y)$中$\mathscr{B}(X; Y)$的闭包中，则存在映射$u_0 \in \mathscr{B}(X; Y)$，使得$d(u(x), u_0(x)) \leq 1$对于所有$x \in X$；因此 $u$ 是有界的。

对于$\mathscr{B}_\mathfrak{S}(X; Y)$为$\prod_{A \in \mathfrak{S}} \mathscr{F}_u(A; Y)$下$\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y)$典范映射下子集$\prod_{A \in \mathfrak{S}} \mathscr{B}(A; Y)$乘积$\prod_{A \in \mathfrak{S}} \mathscr{F}_u(X; Y)$逆像；因此，如果我们考虑§ 1, no. 5的定理 1，第一个断言是从§ 1, no. 2、注3得出的，第二个是从第一个得出的。

所讨论的空间是$\mathscr{B}(X; Y) \cap C_u(X; Y)$；第一个断言源自命题 2；第二个源自第一个（$§ 1$，no. 6，定理 2，推论 1）。

因为由于 $\mathscr{B}(X; Y)$ 是完备的（no. 1，命题 2，推论 1），因此结果来自一致收敛的级数的章 IX, § 3, no. 6、命题 11 和定义。

这个集合由所有$u \in F(X; Y)$组成，其中满足所有关系

因为如果$\mathscr{G}$是$X$的所有有界子集的集合，则$\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$是$X$的所有多重线性映射集合交到$Y$并且集合$\mathscr{B}_\mathscr{G}(X; Y)$（章IX, § 3, no. 5，定理1）；因此，结果由命题 4 和命题 2 得出，推论 1。

对于小节的其余部分，$K$ 表示非离散值域。

那么$\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$就是$\mathscr{F}(X; Y)$的向量子空间。令$B$为所有$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$中$X$、集合中的单位球，使得$\sup_{1 \leq i \leq n} \|x_i\| \leq 1$。

那么$\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$到$\mathscr{B}(B; Y)$的映射$u \to u|B$是单射的；而且，逆像，在此映射下，$\mathscr{B}(B; Y)$上一致收敛的均匀性就是$\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$上有界收敛的均匀性。对于$X$的每个有界子集都包含在形式$\mu B$的集合中（对于某些$\mu \in K^*$），并且如果$u$是$\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$的元素，则可以说对于所有$\|u(z)\| \leq a$ $z \in \mu B$ 相当于说，$\|u(z)\| \leq a/|\mu|^n$ 对于所有 $z \in B$。很容易验证数

除非相反，明确指出，每当$\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$被视为规范的空间时，它就是上面定义的范数，这是有问题的。

这是不等式 (2) 的直接的推论 (章 IX, § 3, no. 5, 定理 1)。

这紧接着定义和关系

对于如果 $u \in \mathscr{L}(X; Y)$ 和 $v \in \mathscr{L}(Y; Z)$ 我们有

特别是，在空间$X$超过$K$的连续自同态的集合$\mathscr{L}(X)$上，范数$||u||$与$\mathscr{L}(X)$的$K$代数结构兼容。

a) 令$d$（或$d'$）为与$X$的拓扑兼容的度量（或具有$Y$的一致性）；那么 $\delta(f, g) = \sup_{x \in X} d'(f(x), g(x))$ 是定义空间 $C(X; Y)$、函数上$C(X; Y)$ 有界一致收敛的均匀性的度量，因为 $X$ 是紧致的 (no. 1)。 对于整数$m > 0, n > 0$的每个对，令$G_{mn}$为函数$f \in \mathscr{C}(X; Y)$的集合，使得关系$d(x, x') \leq 1/m$蕴涵$d(f(x), f(x')) \leq 1/n$。 每个函数 $f \in \mathscr{C}(X; Y)$ 都是一致连续的 (章 II, § 4, no. 1, 定理 2)，因此，对于每个 $n > 0$，$\mathscr{C}(X; Y)$ 是集合 $G_{mn}$ ($m > 0$) 的并。 令$\{a_1, \ldots, a_{p(m)}\}$为$X$的有限子集，使得具有中心$a_i$和半径$1/m$的开球覆盖$X$（$1 \leq i \leq p(m)$）；令$(b_r)_{r \in \mathbf{N}}$为可数序列，其在$Y$中稠密。 对于每个映射$\varphi : [1, p(m)] \to \mathbf{N}$，令$H_\varphi$为那些$f \in G_{mn}$中的集合，使得$d'(f(a_k), b_{\varphi(k)}) \leq 1/n$对应于$1 \leq k \leq p(m)$。 由$b_r$的定义，$G_{mn}$为$\varphi \in \mathbf{N}^{p(m)}$为集合$H_\varphi$并；令$C_{mn}$为映射$\varphi \in \mathbf{N}^{p(m)}$的集合，使得$H_\varphi \neq \emptyset$，并且对于每个$\varphi \in C_{mn}$令$g_\varphi$为$H_\varphi$的元素；最后，让$L_{mn}$表示$g_\varphi$对于$\varphi \in C_{mn}$的可数集合。 令$f \in G_{mn}$，并令$\varphi$为$C_{mn}$的元素，使得$f \in H_\varphi$；那么从定义可以立即得出，所有 $x \in X$ 都有 $d'(f(x), g_\varphi(x)) \leq 4/n$，即 $\delta(f, g_\varphi) \leq 4/n$。 因此，集合$L_{mn}$的并在$\mathscr{C}_u(X; Y)$中是稠密的，因为对于每个整数$n > 0$和每个$f \in \mathscr{C}(X; Y)$，都存在$m$使得$f \in G_{mn}$，并且我们刚刚看到从$f$到$L_{mn}$的距离是$\leq 4/n$。

b) 设 $I = [0, 1]$。由于$\mathscr{C}_u(X; I)$是$\mathscr{C}_u(X; \mathbf{R})$的一致子空间，因此它是可数的型。令$(f_n)$为序列，它在$\mathscr{C}_u(X; I)$中是稠密的。考虑$X$的乘积空间$K = \mathbf{N}$和映射$\psi : x \to (f_n(x))$进入$K$，显然是连续的。 映射 $\psi$ 是单射；因为，对于所有$n$，通过序列$(f_n)$、关系$f_n(x) = f_n(x')$的定义意味着，在经过到极限上，对于每个函数$f \in \mathscr{C}(X; I)$，$f(x) = f(x')$；但如果 $x \neq x'$ 凭借公理 (OIV) 应用于点 $x$ 和 $x$ 的邻域 $V$，而包含 $x'$ (章 IX, § 1, no. 5， 定理2)。由此可见，紧凑空间 $X$ 同胚于 $K$ 的子空间 $\psi(X)$（章 I, § 9, no. 4，定理 2，推论 2）；由于 $K$ 是可度量的且可数型，因而 $\psi(X)$ 也是可数的，因而 $X$ 也是可数的。

Q.E.D.

a) $X$的连续映射到$Y$的空间$\mathscr{L}$，其中极限无穷大，赋予$X$一致收敛的拓扑，是可数型的可度量空间。

b) $X$的连续映射到$Y$的空间$\mathscr{C}_c(X; Y)$，赋予拓扑紧收敛性，是可数型的可度量空间。

a) 设$X'$为将点无限邻接至$X$所获得的紧空间（章I, § 9, no. 8，定理4）；通过定义，每个函数$f \in \mathscr{L}$都可以唯一地扩展到连续的函数$\overline{f} : X' \to Y$，因而$f \to \overline{f}$是L的双射到$C(X'; Y)$；这个双射是空间L通过§ 1, no. 6的命题6到$C_u(X'; Y)$的同胚。由于 $X'$ 是可度量的（章 IX, § 2, no. 9、命题 16，推论），结果来自定理 1，应用于 $X'$ 和 Y。

b) 设$(U_n)$是相对紧开集合对X的覆盖，使得X的每个紧致子集都包含在一些$U_n$中（章I, § 9, no. 9，命题15，推论1）。如果$S$是$\overline{U}_n$的集合，则$C(X; Y)$上紧致收敛的拓扑与$S$收敛的拓扑相同。因而 ($§ 1,$ no. 2, 注 3) 空间 $C_c(X; Y)$ 同胚于乘积 $\prod_n C_u(\overline{U}_n; Y)$ 的子空间；由于每个紧凑空间$\overline{U}_n$都有一个可数基，因此它是可度量的（章IX, § 2, no. 9，命题16）；因而，每个 $C_u(\overline{U}_n; Y)$ 都是可度量的，并且可以用定理 1 来数型，因而 $C_c(X; Y)$ 也是如此。

注$\mathbf{R}$上所有有界连续实值函数的空间，赋予拓扑一致收敛性，不具有可数型（习题4）。

令 $Y'$ 为与 Y (章 II, § 3, no. 8) 相关的豪斯多夫均匀空间，并令 $i : Y \to Y'$ 为 Y 在 $Y'$ 上的典范映射。紧致收敛的拓扑是最粗糙的拓扑，其中$C(X; Y)$到$C_u(K; Y')$的映射$u \to (i \circ u)|K$是连续的，因为K遍历X的所有紧致子集的集合（$§ 1,$） no. 4、命题 4)。因此，我们通过对X的每个紧凑子集 K取$C_c(K; Y')$的拓扑子基，然后在这些子基中的逆像中取并[在$\mathfrak{B}(C(X; Y))$]，从而获得$C_c(X; Y)$的拓扑子基$C(X, Y)$。另一方面，Y 的每个开子集都是形式 $\overline{i}^{-1}(U')$，其中$U'$ 在$Y'$ 中开路（章 II, § 3, no. 7，命题 12）；因此，对于每个紧凑子集$K' \supset K$，$T(K, \overline{i}^{-1}(U'))$是映射下$T(K, U')$的逆像

因此，当X是*紧*且Y是*Hausdorff*时，我们仍然需要证明定理；从现在开始我们要做这些假设。

首先让我们证明$T(K, U)$在$C_c(X; Y)$是开放的。令$u_0$为这个集合的点；由于$u_0(K)$是紧致的（章I, § 9, no. 4，定理2，推论1）并且包含在开集合$U$中，因此存在$Y$的对称周边$V$使得$V(u_0(K)) \subset U$ （章II, § 4, no. 3，命题4，推论）。令$W$为所有连续映射$u : X \to Y$的$C_c(X; Y)$由……组成中$u_0$的邻域，使得$(u(x), u_0(x)) \in V$对于所有$x \in K$。对于这样的映射，我们显然有$u(K) \subset V(u_0(K)) \subset U$；因此$u \in T(K, U)$，因此$W \subset T(K, U)$，这证明了我们的断言。

相反，如果$W$是点$u_0 \in C_c(X; Y)$的邻域，让我们证明形式$T(K, U)$的邻域的有限数的$W$包含交。我们可以假设$W$是所有$u \in C(X; Y)$中的集合，这样$(u(x), u_0(x)) \in V$对于所有$x \in X$来说，$V$是$Y$的给定随从。由于$u_0$在$X$上连续，因此它是一致连续的（章II, § 4, no. 1，定理2）。设$V_1$是$Y$的对称周边，在$Y \times Y$开，使得$V_1^2 \subset V$。 $X$ 可以被紧集 $K_i$ ($1 \leq i \leq n$) 的有限数覆盖，使得每个$u_0(K_i)$ 都是$V_1$-小($1 \leq i \leq n$)。令$U_i$为开集合$V_1(u_0(K_i))$，并令$u : X \to Y$为包含在$n$集合$T(K_i, U_i)$的交中的连续映射（即邻域 $u_0$）。然后，对于每个$x \in K_i$，$u(x)$属于到$U_i$，因此$u_0(x)$和$u(x)$是$V_1^2$-闭，因此$V$-闭。由于每个$x \in X$属于到一些$K_i$，我们有$u \in W$并且证明是完整的。

这个结果使我们得出以下定义：

假设$f$是连续的。为了证明$\tilde{f}$是连续的，我们必须证明，对于$Y$的每个紧致子集$K$和$Z$的每个开子集$U$，$\tilde{f}$下$T(K, U)$的逆像$V$是开的$X$。令 $x_0 \in V$；对于每个$y \in K$，我们有$f(x_0, y) \in U$，并且由于$f$是连续的，因此在$X$中存在$x_0$的邻域$V_y$，在$Y$中存在$y$的邻域$W_y$，这样那个$f(V_y \times W_y) \subset U$。由于$K$是紧致的，因此存在点$y_i \in K$的有限数，使得集合$W_{y_i} (1 \leq i \leq n)$覆盖$K$。设$V'$为$x_0$的邻域$V_{y_i}$的交，即$x_0$的邻域；如果$x \in V'$和$y \in K$，我们有$f(x, y) \in U$，因为$y$包含在$W_{y_i}$中的某个中，并且$x$包含在每个$V_{y_i}$中；因而$V' \subset V$，因而$V$是其每个点的邻域，因此在$X$中开路。