习题 23, § 3

令$X$为紧致空间，令$T$为$C(X; X)$的子集，其在合成$(u, v) \to u \circ v$的律下稳定。假设 $T$ 被赋予拓扑 $\mathscr{T}$ 更细，而不是逐点收敛，且$T$ 是局部紧致的；还假设，对于$T$的每个可数稳定子集$S$，$T \times X$的映射$\pi : (u, x) \to u(x)$到$X$的限制到$S \times X$是连续的。证明，在这些条件下，$\pi$在$T \times X$上连续。 [令$V$是$T$的紧子集（相对于$\mathscr{T}$）；通过使用定理 3 的推论 1，证明对于 $V$ 的每个可数子集 $D$，$D$ 关于$\mathscr{T}$ 的闭包包含在$D$ 关于拓扑的一致收敛闭包中（no. 4）。推断 $V$ 在 $\mathscr{C}_u(X; X)$ 中相对紧（章 II, § 4，习题 6），因此是等连续的。]