Exercice 23, § 3

Soient $X$ un espace compact, $T$ une partie de $\mathscr{C}(X; X)$ stable pour la loi $(u, v) \mapsto u \circ v$. On suppose $T$ muni d’une topologie $\mathscr{T}$ plus fine que celle de la convergence simple et pour laquelle $T$ est localement compact ; en outre, on suppose que pour toute partie dénombrable $S$ de $T$, stable pour $u \circ v$, la restriction à $S \times X$ de l’application $\pi : (u, x) \mapsto u(x)$ de $T \times X$ dans $X$ est continue. Montrer que dans ces conditions $\pi$ est continue dans $T \times X$. (Soit $V$ une partie compacte de $T$ (pour $\mathscr{T}$) ; montrer que pour toute partie dénombrable $D$ de $V$, tout point adhérent à $D$ pour $\mathscr{T}$ est aussi adhérent à $D$ pour la topologie de la convergence uniforme, en utilisant le cor. 1 de X, p. 28. En conclure que $V$ est relativement compact dans $\mathscr{C}_u(X; X)$ (II, p. 37, exerc. 6), et par suite équicontinu).