Bài tập 23, § 3

Cho $X$ là một không gian compact và cho $T$ là một tập con của $C(X; X)$ ổn định đối với luật hợp thành $(u, v) \to u \circ v$. Giả sử rằng $T$ được trang bị một tôpô $\mathscr{T}$ mịn hơn tôpô hội tụ từng điểm và theo đó $T$ là địa phương compact; cũng giả sử rằng, với mọi tập con ổn định đếm được $S$ của $T$, hạn chế trên $S \times X$ của ánh xạ $\pi : (u, x) \to u(x)$ của $T \times X$ vào $X$ là liên tục. Chứng minh rằng, dưới các điều kiện này, $\pi$ là liên tục trên $T \times X$. [Cho $V$ là một tập con compact của $T$ (đối với $\mathscr{T}$); chứng minh rằng, với mỗi tập con đếm được $D$ của $V$, bao đóng của $D$ đối với $\mathscr{T}$ được chứa trong bao đóng của $D$ đối với tôpô hội tụ đều, bằng cách dùng Hệ quả 1 của Định lý 3 (no. 4). Suy ra rằng $V$ là tương đối compact trong $\mathscr{C}_u(X; X)$ (Chương II, § 4, Bài tập 6), và do đó đẳng liên tục.]