显然，如果不再假设$X$是紧的，则定理 1的结论不再必然有效，如$\mathbf{R}_+$中函数$x/(n + x)$的递减序列的例所示。

条件显然是必要的；让我们证明这已经足够了。对于每个$\varepsilon > 0$，我们将证明存在函数$g \in H$，使得所有$z \in X$都有$|f(z) - g(z)| < \varepsilon$。令$x$为$X$中的任意点，并令$H_x$为所有函数$u \in H$中的集合，使得$u(x) < f(x) + \varepsilon$。到假设，对于每个$y \in X$、函数、$u_{x, y}$、属于到$H_x$，我们有$u_{x, y}(y) > f(y) - \varepsilon$。因此，到命题 1，存在$H_x$的函数的有限数，其上包络$v_x$使得对于所有$z \in X$来说$v_x(z) > f(z) - \varepsilon$；另一方面，我们有 $v_x(x) < f(x) + \varepsilon$ 乘定义的 $H_x$；最后，$v_x \in H$乘假设。因此，命题 1 表明存在函数 $v_{x_i}$ 的有限数，其下包络$g$ 使得对于所有$z \in X$ 都有$g(z) < f(z) + \varepsilon$；但由于我们对所有 $z \in X$ 和每个指标 $i$ 都有 $v_{x_i}(z) > f(z) - \varepsilon$，所以我们对所有 $z \in X$ 也有 $g(z) > f(z) - \varepsilon$。由于 $g \in H$ 到假设，证明已完成。

只要证明 H 满足命题 2 的推论条件就足够了。到假设，如果 $u \in H$ 和 $v \in H$，我们有

另一方面，令x和y为X中任意两个不同的点，并令α、β为任意两个实数。到假设，有函数$h \in H$，这样$h(x) \neq h(y)$：比如说$h(x) = \gamma$和$h(y) = \delta$。由于常数属于到 H，函数

定理的等价叙述是*$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的任何子代数，其中包含常量函数并分隔X的点在$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$*中是稠密的。

令$H_0$为H的函数中所有多项式的集合，令$\overline{H}_0$为$\mathscr{C}$中$H_0$的闭包。如果 g 是 n 个具有实系数的变量的任意多项式，则 $(u_1, u_2, \ldots, u_n) \to g(u_1, u_2, \ldots, u_n)$ 是 $\mathscr{C}^n$ 到 $\mathscr{C}$ 的连续映射，其中映射 $H_0^n$ 到 $H_0$，因此映射 $\overline{H}_0^n$ 到$\overline{H}_0$（章I, § 2, no. 1，定理1）。特别地，$\overline{H}_0$是$\mathscr{C}$的向量子空间，显然满足定理2的第一个和第三个条件；我们将证明它也满足第二个条件，这将证明$\overline{H}_0 = \mathscr{C}$。

由于每个函数$u \in \overline{H}_0$都有界于$X$，因此足以证明以下引理：

对于区间形式 $I = [-a, +a]$ 证明引理就足够了，因此，对于区间 $I = [-1, +1]$，通过 $at$ 证明替换 $t$ 就足够了。由于 $|t| = \sqrt{t^2}$，引理 1 是以下结果的推论：

为了证明引理 2 就足以证明，对于所有 $t \in [0, 1]$，我们有

我们通过$n$上的归纳证明(2)。对于 $n = 0$ 来说也是如此。如果$n \geq 0$，则从归纳假设（2）得出$0 \leq \sqrt{t} - p_n(t) \leq \sqrt{t}$，因此$0 \leq p_n(t) \leq \sqrt{t}$，因此从（1）我们有

如果$X$不是紧的，定理3的结论不一定成立。对于例，$\mathbf{R}$上的连续实值函数是有界的且不是常数不能，可以通过多项式（cf.习题6）在$\mathbf{R}$中统一逼近。

因为如果$x = (x_i)$和$y = (y_i)$是$X$的两个不同的点，则至少有一个指标$i$使得$x_i \neq y_i$；因此连续函数$\mathrm{pr}_i$的族满足定理3的条件。

首先考虑$A$由单个点$x_0$组成的特殊情况。然后，假设意味着 $H$ 分离点和 $X$；因为，如果$x \neq x_0$，那么到假设就有函数$u \in H$使得$u(x) \neq 0 = u(x_0)$。因此，对于每个$\varepsilon > 0$和$X$上的每个连续实值函数$f$，使得$f(x_0) = 0$，存在（定理3）一个$H$的函数中的多项式$g$，使得$|f(x) - g(x)| \leq \varepsilon$对于所有$x \in X$。特别是$|g(x_0)| \leq \varepsilon$，所以

对于所有$x \in X$；由于$g(x) - g(x_0)$是$H$的函数多项式，没有常数项，因此在这种情况下结果成立。

在一般情况下，考虑$X$上的等价关系$R$，其类为集合$A$，集合$\{x\}$为$x \notin A$。商空间 $X/R$ 是 Hausdorff (章 I, § 8, no. 6, 命题 15)，因此是紧致的。设$\varphi : X \to X/R$为典范映射。 $X$上的每个连续实值函数$f$在$A$消失都可以写成形式$f = f_1 \circ \varphi$，其中$f_1$是$X/R$上的连续实值函数在点消失$x_0' = \varphi(A)$。 应用的结果已经证明给空间$X/R$和点$x_0'$，我们得到最终的结果。

考虑“一个变量的函数”$(x_i) \to u_\alpha(x_\alpha)$（任何$\alpha \in I$）的集合$H$，它们在$X$上连续。这个集合分隔了$X$的点，因为如果$x = (x_i)$和$y = (y_i)$是$X$的任意两个不同的点，则存在$\alpha \in I$使得$x_\alpha \neq y_\alpha$并且存在连续实值函数 $h_\alpha$ 于$X_\alpha$，使得 $h_\alpha(x_\alpha) \neq h_\alpha(y_\alpha)$。 函数$x \to h_\alpha(\operatorname{pr}_\alpha x)$，然后属于到$H$，并在$x$和$y$取不同的值。由于$H$的函数中的每个多项式都是定理中所述的形式，因此结果由定理3得出。

如果不是所有$X_i$都是紧的，定理4的结论不一定有效（cf.习题9）。

给定任何实数$\varepsilon > 0$，对于每个$x \in X$，都存在$x$的开邻域，其中$f$的振荡为$\leq \varepsilon$。因此，存在$X$的有限开覆盖​​$(A_i)_{1 \leq i \leq n}$，使得$f$在每个$A_i$中的振荡为$\leq \varepsilon$。令$a_i$为$A_i$（$1 \leq i \leq n$）中$f$的值，并令$(u_i)_{1 \leq i \leq n}$为单位元的连续划分，从属于覆盖$(A_i)$（章IX, § 4, no. 4， 命题 4) 的推论。令$x$为$X$中的任意点。对于每个指标$i$使得$x \notin A_i$，我们有$u_i(x) = 0$，并且对于每个指标$i$使得$x \in A_i$我们有$\|f(x) - a_i\| \leq \varepsilon$;由此可见

另一方面，到假设时，有函数 $v_i \in H$ 使得

对于所有 $x \in X$ ($1 \leq i \leq n$)；因此我们有

证明已完成。

从命题 5 可以看出，对于命题中的每一个，我们已经证明$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的某个子集$H$是稠密的，对应有一个类似的命题，用于将$X$的连续映射转换为任意范数空间$Y$。我们将仅显式地写出命题，其中对应以这种方式到定理 3。给定$X$上实值函数的集合$H$，$H$的函数多项式，系数为$Y$，被定义为函数属于到$H$有限族（可能为空）的线性组合，系数在$Y$，乘积。然后：

由此我们推论：

我们只需注 $Y$ 也是 $\mathbf{R}$ 上的规范化空间以及实部部分的应用命题 6 到集合和函数 $f \in H$ 的虚部部分，使用公式

稍后我们将看到，一般来说，即使是 $Y = \mathbf{C}$，也不可能仅通过变量 $z_k$ 中的多项式（系数为$Y$）统一近似$f$。

如果$X'$是点在无穷远$\omega$与$X$邻接而得到的紧空间，则$C_0(X)$可以等同于连续映射的$C(X; \mathbf{C})$由……组成的子空间，其消失于映射 $\omega$、范数 on $C_0(X)$ 定义为

凭借命题 7，每个$f \in C_0(X)$都可以用函数属于到$A$内的复系数多项式统一逼近；而且，从$f(\omega) = 0$开始，no. 2、命题 4 的论证表明，我们可以假设这些多项式没有常数项，然后它们属于到$A$。

另一个命题 7 的应用如下：

其中$h_i$是有理整数（这样的线性组合称为m变量的三角多项式）。

我们只需观察 P（赋予一致收敛的拓扑）与紧空间$\mathbf{T}^m$的所有连续映射到$\mathbf{C}$（章VII, § 1, no. 6）的空间规范同构，并且将$\mathbf{T}^m$的映射的应用命题7至集合转换为$\mathbf{C}$，其中对应将$\mathbf{R}^m$的映射$(x_1, x_2, \ldots, x_m) \to e(x_i) \quad (1 \leq i \leq m)$转换为$\mathbf{C}$。