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历史注记
（括号内的数指本注末尾的参考书目。）
任意函数的概念在 19 世纪初几乎是未知的。 更不必说，研究一般函数的集合并赋予它们拓扑结构的想法并没有出现在之前黎曼时代（参见历史注记到章I），直到十九世纪末才出现这个想法得到了系统的运用。
尽管如此，自无穷小演算开始以来，或多或少有意识地使用了实值函数的*序列*收敛的想法。当然，这里所说的收敛是指“逐点”收敛；直到博尔扎诺和柯西精确定义了收敛的级数和连续的函数的概念之后，其他收敛的型才能被描述。后者起初并没有认识到逐点收敛和一致收敛的区别，并认为他已经证明了连续函数的任意收敛级数的和是连续的（[1]，（2），第3卷，p. 120）。阿贝尔几乎立刻就指出了这个错误，他同时通过经典论证表明，每个幂级数在其收敛区间内都是连续的，在这种特殊情况下，本质上使用了一致收敛的概念（[2]，第223-224页）。剩下的只是一般地制定这个概念，这是由斯托克斯和塞德尔在1847-1848年独立完成的，以及柯西本人在1853年完成的（[1]，（1），第12卷，p. 30）（*）。
在Weierstrass和Riemann的影响下，德国人学校（Hankel，du Bois-Raymond），尤其是意大利人，在19世纪后半叶对一致收敛性的概念及相关问题进行了系统研究； Dini 和 Arzelà 精确地证明了连续函数的序列极限所必需的条件是连续的，而 Ascoli 引入了等连续性的基本概念，并证明了表征连续函数紧集的定理 [3] （后来蒙特尔在他的“正常家庭”理论中推广了定理，相对于分析性的函数来说紧集）。
(*) 在一部 1841 年但首次发表于 1894 年的著作中（[4a]，p. 67），Weierstrass 在一个或多个复变量中完美清晰地使用一致收敛的概念（他第一次用这个名字称呼）来表示幂级数。
另一方面，Weierstrass 本人发现了 [4b] 在多项式有界集合上的一个或多个实变量中连续实值函数的一致近似的可能性。这一结果立即引起了人们的热烈兴趣，并引发了许多“定量”研究（*）。
现代对这些问题的贡献首先是通过考虑函数，其域和范围不再局限于或有限维空间，从而赋予它们所能够的全部普遍性，从而在一般拓扑概念的帮助下将它们置于自然背景中。尤其是Weierstrass的定理，它已经在古典数学分析中显示出自己的强大武器，近年来已被M. H. Stone扩展到更一般的情况；发展了 H. Lebesgue 提出的想法（在 Weierstrass 的定理的证明中），他清楚地表明了部分在通过函数的格逼近连续实值函数的理论中发挥的重要作用（通过“格多项式”cf. 逼近） § 4、命题 2 和定理 2），并且还展示了广义 Weierstrass 定理如何具有与直接的推论类似的近似定理的整个级数，因此可以以更加连贯的方式将其组合在一起。我们或多或少都遵循了他的论述[5]。
参考书目
[1] A.-L。苏夫尔柯西，巴黎（Gauthier-Villars），1882-1932 年。 [2] N. H. Abel，Œuvres，卷。 1，p. 223-224，由 Sylow 和 Lie (Christiania) 1881 年编辑。 [3] G. Ascoli，Sulle 曲线限制曲线数据，Mem。阿卡德。林采 (3)，卷。 18 (1883)，第 521-586 页。 [4] K. Weierstrass，Mathematicische Werke，柏林（Mayer und Müller），1894-1903： a) Zur Theorie der Potenzreihen, Bd。 1，第 67-74 页； b) Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen reeller Argumente, Bd。 3，第 1-37 页。 [5] M. H. Stone，广义 Weierstrass 近似定理，数学杂志，21 (1948)，第 167-183 和 237-254 页。 [6]C。 De La Vallée-Poussin，Leçons sur l'approximation des fonctions d'une Variable réelle，巴黎，（Gauthier-Villars），1919 年。
(*) 请参见，例如，C。德拉瓦莱·普桑 [6]。