首先，$f_i$可以通过连续性扩展到$\hat{X} \times \hat{X}$，因为它们在$X \times X$上一致连续；且扩展函数$\bar{f}_i$在$\hat{X} \times \hat{X}$上均匀连续（章II, § 3, no. 6，定理2）；此外，由于不等式（章IV, § 5, no. 2，定理1）的原理或扩张，它们是$\hat{X}$上的伪度量。 令$\mathscr{U}_1$表示通过补全获得的$\hat{X}$上的均匀性，并令$\mathscr{U}_2$表示由伪度量族$(\bar{f}_i)$定义的均匀性。 那么$\mathscr{U}_2$比$\mathscr{U}_1$更粗糙；对于每个$\bar{f}_i$相对于$\mathscr{U}_1$在$\hat{X} \times \hat{X}$上一致连续，因此对于每个$a > 0$，存在$\mathscr{U}_1$的随从$V$，这样，每当$(x, y) \in V$时，我们就有$|\bar{f}_i(x, y) - \bar{f}_i(x, x)| \leq a$，即[自$\bar{f}_i(x, x) = 0$]， $V \subset \bar{f}_i([0, a])$；因此$\mathscr{U}_2$的每个随从都是$\mathscr{U}_1$的随从。 另一方面，$\mathscr{U}_1$和$\mathscr{U}_2$诱导在$X$上具有相同的均匀性$\mathscr{U}$。 由于$\hat{X}$相对于$\mathscr{U}_1$是完备的，因此$\mathscr{U}_1$和$\mathscr{U}_2$是相同的（章II, § 3, no. 7，命题14）。

对于均匀性$\mathscr{U}$的每个周边$V$，定义归纳对称周边$(U_n)$的序列，使得对于所有$n \geq 1$有$U_1 \subset V$和$U_{n+1} \subset U_n$。 序列 $(U_n)$ 是均匀度 $\mathscr{U}_V$ 比 $\mathscr{U}$ 粗糙的基础系统；此外，很明显，$\mathscr{U}$是所有均匀性$U_V$中最小的上界，因为$V$穿过$\mathscr{U}$的随行人员过滤器。因此，定理 1 是以下命题中的推论：

设$(V_n)$是$\mathscr{U}$的随行人员的可数基本系统。 定义归纳序列 $(U_n)$ $\mathscr{U}$ 的对称周边，使得 $U_1 \subset V_1$ 和

显然，$(U_n)$是$\mathscr{U}$随从的另一个基础系统，尤其是$\bigcup_{n+1}^3 \subset U_n$对于$n \geq 1$。我们在$X \times X$上定义实值函数$g$如下：$g(x, y) = 0$如果$(x, y) \in U_n$对于所有$n$； $g(x, y) = 2^{-k}$ 如果 $(x, y) \in U_n$ 代表 $1 \leq n \leq k$，但$(x, y) \notin U_{k+1}$； $g(x, y) = 1$ if $(x, y) \notin U_1$. 函数 $g$ 是对称且正的，对于所有 $x \in X$，我们都有 $g(x, x) = 0$。放 下确界接管所有有限序列 $(z_i)_{0 \leq i \leq p}$（$p$任意）中的集合，使得$z_0 = x$和$z_p = y$。我们将证明 $f$ 是一个满足不等式的“伪计量” 从定义可以立即得出 $f$ 是对称且正的，并且满足三角形不等式。而且很明显，$f(x, y) \leq g(x, y)$，因此$f(x, x) = 0$对于所有$x \in X$，因此$f$是伪度量。为了证明不等式 (2) 的左半部分，让我们通过 $p$ 上的归纳来证明，对于 $p + 1$ 点 $X$ 的每一个有限序列 $(z_i)_{0 \leq i \leq p}$，这样 $z_0 = x$ 和 $z_p = y$，我们有 如果$p = 1$，这很清楚。 Put $a = \sum_{i=0}^{p-1} g(z_i, z_{i+1})$;如果$a \geq 1/2$，则不等式 (3) 为真，因为$g(x, y) \leq 1$。假设 $a < 1/2$，并令 $h$ 为指标 $q$ 的最大的，使得 那么我们有$\sum_{i < h} g(z_i, z_{i+1}) \leq a/2$和$\sum_{i < h+1} g(z_i, z_{i+1}) > a/2$，从而

通过归纳假设，我们有$g(x, z_h) \leq a$和$g(z_{h+1}, y) \leq a$；另一方面，很明显$g(z_h, z_{h+1}) \leq a$。令$k$为最小的整数$> 0$，使得$2^{-k} \leq a$；然后$k \geq 2$、$(x, z_h) \in U_k, (z_h, z_{h+1}) \in U_k, (z_{h+1}, y) \in U_k$乘$g$的定义；因此$(x, y) \in U_k \subset U_{k-1}^3$，这意味着$g(x, y) \leq 2^{1-k} \leq 2a$。

由此证明不等式(2)；他们表明，对于每个$a > 0$，集合$f^{-1}([0, a])$包含于$U_k$，对于每个指标$k$，使得$2^{-k} < a$，反之，每个$U_k$包含集合 $f^{-1}([0, 2^{-k-1}])$；因此，集合$f^{-1}([0, a])$形式是结构$\mathscr{U}$随行人员的基本系统。

Q.E.D.

(OIV) 给定任何点 $x_0 \in X$ 和任何邻域 $V$ ** $x_0$，*在* $X$ 上存在一个连续实值函数 将其值放入 $[0, 1]$，*等于* $0$ 在 $x_0$，*并且等于* $1$ 在 $C_V$。

条件是必要的。因为如果$X$上存在与$X$的拓扑兼容的均匀性，那么通过定理1，这个均匀性可以由$X$上的伪测量族$(f_i)$来定义，并且我们可以不失一般性地假设该族是*饱和*（no. 2）。从由这样一个伪测量族定义的均匀性周围的定义，有一个$(f_i)$族的伪测量$f_\alpha$和数$a > 0$，这样对于所有$x \in C_V$都有$f_\alpha(x_0, x) \geq a$。由此可见函数$g(x) = \inf \left( 1, \frac{1}{a} f_\alpha(x_0, x) \right)$满足(OIV)中规定的所有条件。

条件就足够了。让$\Phi$是$X$到$[0, 1]$的所有*连续映射*的集合。公理 (OIV) 表明，*所有函数属于到* $\Phi$ 一致连续的最粗均匀性与 $X$ (章 II, § 2, no. 3) 的拓扑兼容。

考虑 X 上的最粗糙均匀性，相对于 X 到 [0, 1] 的所有连续映射都是均匀连续的；我们已经在定理 2 的证明中使用了这种均匀性，我们看到如果 X 是可均匀化的，那么它与 X 的拓扑兼容。此外，通过区间 [0, 1] 的紧致性和章 II, § 4, no. 2 的命题 3，该均匀性是 预紧 空间的结构。如果 X 是 Hausdorff，则X 对此的完备性因此是紧凑的，并且命题得到证明。

因此，我们可以说，完全规则的空间可以“嵌入”紧凑的空间中。通过以下方式呈现此结果通常很方便：

一般来说，*立方体*是拓扑空间 K^I、乘积的拓扑空间族，每个都与\mathbf{R}的*紧间隔* K相同，由任意集合I索引。如果I是有限的并且有n元素，我们恢复*n维封闭立方体*的概念，它在章VI, § 1, no. 1中定义。立方体是*紧凑* 空间 (章 I, § 9, no. 5, 定理 3)。

令 $(f_i)_{i \in I}$ 表示 X 的所有连续映射进入 K = [0, 1]，令 g 表示 X 的映射 $x \mapsto (f_i(x))$ 进入

() 参见 A. Tychonoff，数学。安。*，102，（1930），p. 553。

K1。 如果$x, y$是$X$的任意两个不同的点，则根据公理(H)和(O_IV)，存在指标$i$使得$f_i(x) \neq f_i(y)$，因此$g$是$X$的*一对一*映射到$K^1$。 Moreover, it is immediate that $g$ is an isomorphism of the coarsest uniformity on $X$ for which all the $f_i$ are uniformly continuous, onto the uniformity induced on $g(X)$ by the product uniformity of $K^1$; 更不必说，$g$是$X$到$g(X)$的同胚。

条件是*必要的*。令$x_0$为$X$的任意点，并令$V$为$x_0$的任意开邻域；则集合$V$的特征函数$\varphi_V$是下半连续的（章IV, § 6, no. 2，推论命题1）；因此，到假设，$X$上存在连续实值函数$g$，使得$g \leq \varphi_V$和$g(x_0) = a > 0$。连续的函数$\inf \left( 1, \frac{1}{a} g^+ \right)$在$[0, 1]$取其值，在$C_V$等于0，在$x_0$等于1。因此 (定理 2) $X$ 是可统一的。

条件*足够*。首先考虑$f$在$[-1, +1]$中取值的情况。我们必须证明，对于每个$x_0 \in X$和每个数$a < f(x_0)$，在$X$上都存在连续的实值函数$g$，使得$g \leq f$和$g(x_0) \geq a$。如果$a \leq -1$，我们可以取$g$作为常数$-1$。如果$-1 < a < f(x_0)$，则$x_0$有邻域$V$，使得所有$x \in V$都有$f(x) \geq a$。由于$X$是可统一的，$X$上有一个连续实值函数$h$，$[0, 1]$中有值，这样对于所有$x \in C_V$都有$h(x_0) = 0$和$h(x) = 1$。然后我们可以取$g(x) = a - (a + 1)h(x)$，并且我们有一个连续的函数满足指定的条件。 注这个函数在$[-1, +1]$ 中取其值。

一般情况下转移结构；因为$[-1, +1]$在$\overline{\mathbf{R}}$上存在严格递增的同胚（章IV, § 4, no. 2，命题2），并且半连续函数的定义仅涉及阶结构并且拓扑共 $\overline{\mathbf{R}}$。