习题 22, § 3

令$X$为紧空间，并令$T$为$X$所有同胚的群的子群，赋予局部紧拓扑$\mathscr{T}$，其中条件(A)为习题 21 满意。令$G$为$T$的可数子群，令$f$为$X$上的连续实值函数。考虑$X$的连续映射$x \to \varphi(x)$到$I^G$，其中$I = f(X) \subset \mathbf{R}$和$\varphi(x) = (f(u(x)))_{u \in G}$。设$Y$为$\varphi$下$X$的像； $Y$ 是 $I^G$ 的紧凑可度量化子空间。

a) 显示所有$v \in T$中的集合使得$\varphi \circ v = \varphi$是$T$的子群$K$，其归一化器在$T$包含$G$。令$R$为$T$上的等价关系$u \circ v^{-1} \in K$，并令$T'$为空间$T/R$与$p : T \to T/R$典范映射的商。证明 $T'$ 是局部紧致的，并且如果我们集合 $p(u)v = p(u \circ v)$，那么 $T$ 在 $T'$ 的右侧进行运算，使得 $t' \to t'v$ 对于所有 $v \in T$ 在 $T'$ 上是连续的。

b) 令$G' = p(G)$，令$H'$为$T'$中$G'$的闭包，并令$H = p^{-1}(H')$。证明，如果$u \in H$，关系$p(v) = p(v')$蕴涵$p(u \circ v) = p(u \circ v')$，使得$H$在$T'$的左侧运算；此外，如果我们对 $u \in H, v \in T$ 集合 $up(v) = p(u \circ v)$，则映射 $t' \to ut'$ 在 $T'$ 上连续。最后，如果$u_1, u_2$是$H$的元素使得$p(u_1) = p(u_2)$，我们有$u_1t' = u_2t'$；因而，通过经过商，我们将$H' \times T'$的定义映射$(u', t') \to u't'$化为$T'$，这样对于所有$u' \in H'$，$t' \to u't'$在$T'$上连续。证明如果 $u' \in H'$ 和 $v' \in H'$，则 $u'v' \in H'$ 以及合成的律在 $H'$ 诱导群结构 $G'$ 上定义（$G'$ 同构于$GK/K$）。

c) 如果$u \in H$，关系$\varphi(x) = \varphi(y)$蕴含$\varphi(u(x)) = \varphi(u(y))$，因此存在唯一映射$\tilde{u} : Y \to Y$使得$\varphi \circ u = \tilde{u} \circ \varphi$。 证明 $\tilde{u}$ 是连续且满射的，并且 $\tilde{u}_1 = \tilde{u}_2$ 当且仅当 $p(u_1) = p(u_2)$；这允许我们将$\tilde{u} = \tilde{u}'$、$u' = p(u)$和定义将$H'$的单射映射$\psi : u' \to \tilde{u}'$写进$C_s(Y; Y)$。 证明$\psi$是连续的并且$\psi(u'v') = \psi(u') \circ \psi(v')$；将$C_s(Y; Y)$的子集用$\psi$到认同$H'$，并用$T'$的$H'$上的$\mathscr{T}'$拓扑表示，证明$(H', \mathscr{T}')$满足性质 (A) 习题21。

d) 证明，如果$\mathscr{T}$ 赋予$G$ 赋予拓扑，则$G \times X$ 到$X$ 的映射 $(u, x) \to u(x)$ 是连续的。 [证明，对于$X$上的每个连续实值函数$f$，映射$(u, x) \to f(u(x))$在$G \times X$上连续，通过使用c)和习题21；然后应用章IX, § 1, no. 5，命题4。]