Bài tập 22, § 3

Cho $X$ là một không gian compact, và cho $T$ là một nhóm con của nhóm tất cả các tự đồng phôi của $X$, được trang bị một tôpô địa phương compact $\mathscr{T}$ sao cho điều kiện (A) của Bài tập 21 được thỏa mãn. Cho $G$ là một nhóm con đếm được của $T$, và cho $f$ là một hàm giá trị thực liên tục trên $X$. Xét ánh xạ liên tục $x \to \varphi(x)$ từ $X$ vào $I^G$, trong đó $I = f(X) \subset \mathbf{R}$ và $\varphi(x) = (f(u(x)))_{u \in G}$. Gọi $Y$ là ảnh của $X$ qua $\varphi$; $Y$ là một không gian con compact mêtric hóa được của $I^G$.

(a) Chứng minh rằng tập hợp tất cả các $v \in T$ sao cho $\varphi \circ v = \varphi$ là một nhóm con $K$ của $T$ mà chuẩn hóa tử của nó trong $T$ chứa $G$. Gọi $R$ là quan hệ tương đương $u \circ v^{-1} \in K$ trên $T$, và gọi $T'$ là không gian thương $T/R$ và $p : T \to T/R$ là ánh xạ chính tắc. Chứng minh rằng $T'$ là compact địa phương, và rằng nếu ta đặt $p(u)v = p(u \circ v)$, thì $T$ tác động phải lên $T'$ sao cho $t' \to t'v$ là liên tục trên $T'$ với mọi $v \in T$.

(b) Gọi $G' = p(G)$, gọi $H'$ là bao đóng của $G'$ trong $T'$, và gọi $H = p^{-1}(H')$. Chứng minh rằng, nếu $u \in H$, quan hệ $p(v) = p(v')$ kéo theo $p(u \circ v) = p(u \circ v')$ sao cho $H$ tác động trái lên $T'$; hơn nữa, nếu ta đặt $up(v) = p(u \circ v)$ với $u \in H, v \in T$, thì ánh xạ $t' \to ut'$ là liên tục trên $T'$. Cuối cùng, nếu $u_1, u_2$ là các phần tử của $H$ sao cho $p(u_1) = p(u_2)$, ta có $u_1t' = u_2t'$; do đó, bằng cách chuyển qua thương, ta định nghĩa một ánh xạ $(u', t') \to u't'$ từ $H' \times T'$ vào $T'$, sao cho $t' \to u't'$ là liên tục trên $T'$ với mọi $u' \in H'$. Chứng minh rằng nếu $u' \in H'$ và $v' \in H'$, thì $u'v' \in H'$ và rằng luật hợp thành được định nghĩa như vậy trên $H'$ cảm sinh một cấu trúc nhóm trên $G'$ (đối với cấu trúc này $G'$ là đẳng cấu với $GK/K$).

c) Nếu $u \in H$, quan hệ $\varphi(x) = \varphi(y)$ kéo theo $\varphi(u(x)) = \varphi(u(y))$ và do đó tồn tại một ánh xạ duy nhất $\tilde{u} : Y \to Y$ sao cho $\varphi \circ u = \tilde{u} \circ \varphi$. Chứng minh rằng $\tilde{u}$ là liên tục và toàn ánh và rằng $\tilde{u}_1 = \tilde{u}_2$ khi và chỉ khi $p(u_1) = p(u_2)$; điều này cho phép ta viết $\tilde{u} = \tilde{u}'$, trong đó $u' = p(u)$, và xác định một ánh xạ đơn ánh $\psi : u' \to \tilde{u}'$ của $H'$ vào $C_s(Y; Y)$. Chứng minh rằng $\psi$ là liên tục và rằng $\psi(u'v') = \psi(u') \circ \psi(v')$; dùng $\psi$ để đồng nhất $H'$ với một tập con của $C_s(Y; Y)$ và ký hiệu bằng $\mathscr{T}'$ tôpô trên $H'$ cảm sinh bởi tôpô của $T'$, chứng minh rằng $(H', \mathscr{T}')$ thỏa mãn tính chất (A) của Bài tập 21.

d) Chứng minh rằng, nếu $G$ được trang bị tôpô cảm sinh bởi $\mathscr{T}$, ánh xạ $(u, x) \to u(x)$ của $G \times X$ vào $X$ là liên tục. [Chứng minh rằng, với mọi hàm thực liên tục $f$ trên $X$, ánh xạ $(u, x) \to f(u(x))$ là liên tục trên $G \times X$, bằng cách dùng c) và Bài tập 21; sau đó áp dụng Chương IX, § 1, no. 5, Mệnh đề 4.]