Exercice 22, § 3

Soient X un espace compact, T un sous-groupe du groupe des homéomorphismes de X, muni d’une topologie $\mathscr{T}$ localement compacte pour laquelle la condition (A) de l’exerc. 21 est satisfaite. Soient G un sous-groupe dénombrable de T, et f une fonction numérique continue dans X. On considère l’application continue $x \mapsto \varphi(c)$ de X dans $I^G$, où $I = f(X) \subset \mathbf{R}$ et $\varphi(x) = (f(u(x)))_{u \in G}$; soit Y l’image de X par $\varphi$, qui est un sous-espace compact métrisable de $I^G$.

a) Montrer que l’ensemble des $v \in T$ tels que $\varphi \circ v = \varphi$ est un sous-groupe K de T, dont le normalisateur dans T contient G. Soit R la relation d’équivalence $u \circ v^{-1} \in K$ dans T et soient T' l’espace quotient $T/R$, $p$ l’application canonique $T \to T/R$. Montrer que T' est localement compact, et si l’on pose $p(u)v = p(u \circ v)$, T opère à droite sur T' de sorte que pour tout $v \in T, t' \mapsto t'v$ est continue dans T'.

b) Soient $G' = p(G), H'$ l’adhérence de $G'$ dans T', et $H = p(H')$. Montrer que pour $u \in H$, la relation $p(v) = p(v')$ entraîne $p(u \circ v) = p(u \circ v')$ de sorte que H opère à gauche sur T'; en outre, si on pose $up(v) = p(u \circ v)$ pour $u \in H, v \in T$, l’application $t' \mapsto ut'$ est continue dans T'. Enfin si $u_1, u_2$ sont des éléments de H tels que $p(u_1) = p(u_2)$, on a $u_1t' = u_2t'$, ce qui définit par passage au quotient une application $(u', t') \mapsto u't'$ de $H' \times T'$ dans T', telle que pour tout $u' \in H', t' \mapsto u't'$ soit continue dans T'. Montrer que si $u'$ et $v'$ sont dans $H'$, on a $u'v' \in H'$, et que la loi de composition ainsi définie sur $H'$ induit sur $G'$ une structure de groupe (isomorphe à celle de GK/K).

c) Si $u \in H$, la relation $\varphi(x) = \varphi(y)$ entraîne $\varphi(u(x)) = \varphi(u(y))$, et par suite il existe une application $\tilde{u}$ et une seule de Y dans lui-même telle que $\varphi \circ u = \tilde{u} \circ \varphi$. Montrer que $\tilde{u}$ est continue et surjective; en outre, pour que $\tilde{u}_1 = \tilde{u}_2$, il faut et il suffit que $p(u_1) = p(u_2)$, ce qui permet d’écrire $\tilde{u} = \tilde{u}'$, en posant $p(u) = u'$, et définit une application injective $\psi : u' \mapsto \tilde{u}'$ de $H'$ dans $\mathscr{C}_s(Y; Y)$. Montrer que $\psi$ est continue et telle que $\psi(u'v') = \psi(u') \circ \psi(v')$; identifiant $H'$ à une partie de $\mathscr{C}_s(Y; Y)$ par $\psi$, et désignant par $\mathscr{T}'$ la topologie transportée par $\psi$ de la topologie induite sur $H'$ par celle de $T'$, en conclure que $(H', \mathscr{T}')$ vérifie la propriété (A) de l’exerc. 21.

d) Montrer que lorsque G est muni de la topologie induite par $\mathscr{T}$, l’application $(u, x) \mapsto u(x)$ de $G \times X$ dans $X$ est continue. (Prouver que pour toute fonction numérique $f$ continue dans $X$, l’application $(u, x) \mapsto f(u(x))$ est continue dans $G \times X$, en utilisant c) et l’exerc. 21 ; puis appliquer la prop. 4 de IX, p. 8).