Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

2. 欧氏距离；球体和球体

1. 欧氏距离Rn\mathbf{R}^n

根据一般的定义，两个点x=(xi)x = (x_i)和y=(yi)y = (y_i)之间的*欧氏距离*为数

d(x,y)=∑i=1n(xi−yi)2≥0. d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} \geq 0.

我们回顾一下它的主要特性。 关系 d(x,y)=0d(x, y) = 0 相当于x=yx = y。我们有d(x,y)=d(y,x)d(x, y) = d(y, x)；对于所有标量 t∈Rt \in \mathbf{R}、d(tx,ty)=∣t∣d(x,y)d(tx, ty) = |t| d(x, y)；对于所有z∈Rnz \in \mathbf{R}^n、d(x+z,y+z)=d(x,y)d(x + z, y + z) = d(x, y)；在其他字中，两个点之间的距离*在平移下不变*。从原点 oo 到点 xx 的距离 d(o,x)d(o, x) 也用 ∥x∥\|x\| 表示，称为 xx 的 欧氏范数（或简称为 xx 的 范数，当不可能发生混淆；cf.章IX, § 3, no. 3）。然后d(x,y)=∥y−x∥d(x, y) = \|y - x\|。

对于n=1n = 1，以xx和yy为端点的区间中，R\mathbf{R}约化到长度∣y−x∣|y - x|之间的点x,yx, y之间的欧氏距离。对于任何nn，我们说d(x,y)=∥y−x∥d(x, y) = \|y - x\|是以xx和yy为端点的段的*长度*。

欧氏距离满足*三角形不等式*

(I)

d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)
对于Rn\mathbf{R}^n中的所有x,y,zx, y, z。

我们记得 (I) 约化的证明到不等式

(∑i=1n(xi+yi)2)1/2≤(∑i=1nxi2)1/2+(∑i=1nyi2)1/2; \left( \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)^2 \right)^{1/2} \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2} + \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right)^{1/2};

这又相当于 Cauchy-Schwarz 不等式

(∑i=1nxiyi)2≤(∑i=1nxi2)(∑i=1nyi2), \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right),

这是拉格朗日恒等式的直接的推论

(∑i=1nxi2)(∑i=1nyi2)−(∑i=1nxiyi)2=12∑i,j(xiyj−xjyi)2. \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 = \frac{1}{2} \sum_{i,j} (x_i y_j - x_j y_i)^2.

这个证明同时表明，只有当zz是以xx和yy为端点的线段的点时，(1)的两侧才可以相等。

从(1)我们推导出不等式

d(x,y)≥∣d(x,z)−d(y,z)∣. d(x, y) \geq |d(x, z) - d(y, z)|.

最后，如果x=(xi),y=(yi)x = (x_i), y = (y_i)，我们有

sup⁡1≤i≤n∣xi−yi∣≤d(x,y)≤n⋅sup⁡1≤i≤n∣xi−yi∣. \sup_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i| \leq d(x, y) \leq \sqrt{n} \cdot \sup_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i|.

因此，Rn\mathbf{R}^n的子集AA是*有界*（§ 1, no. 1）当且仅当

sup⁡x∈A∥x∥<+∞. \sup_{x \in A} \|x\| < +\infty.

2. 排量

我们再次回忆一下，Rn\mathbf{R}^n对其自身进行仿射变换ff，这使得任意两个点之间的距离保持*不变*[也就是说，对于所有x,yx, y来说，d(f(x),f(y))=d(x,y)d(f(x), f(y)) = d(x, y)]被称为*欧氏位移*（或简称为*位移*）（*）；它们形式群，称为Rn\mathbf{R}^n的*群位移*。这个群在Rn\mathbf{R}^n上传递操作；更一般地，如果VV和V′V'是相同维数在Rn\mathbf{R}^n中的任意两个仿射线性簇，则存在变换VV到V′V'的位移。保持原点固定的位移，称为*正交变换*，所有位移的群中的形式子群。这个子群称为nn实变量的*正交群*； 线性映射其中属于到此群的特征在于，它们使每个点 x∈Rnx \in \mathbf{R}^n 的 范数 ∥x∥\|x\| 保持不变，或者等效地，*二次*

(*) 如果对于所有 x,yx, y，ff 仅受条件 d(f(x),f(y))=d(x,y)d(f(x), f(y)) = d(x, y) 影响，则实际上 ff 必须是仿射且线性的，因此是位移。

形式∥x∥2=∑i=1nxi2\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2。 Rn\mathbf{R}^n的两个向量x=(xi)x = (x_i)和y=(yi)y = (y_i)的标量乘积是与二次形式∑i=1nxi2\sum_{i=1}^n x_i^2相关的双线性形式的值∑i=1nxiyi\sum_{i=1}^n x_i y_i；它用 (x∣y)(x|y) 表示，或者如果不存在混淆的可能性，则简单地用 xyxy 表示。每个正交变换都会使任意两个向量的标量乘积保持不变。如果 (x∣y)=0(x|y) = 0，则两个向量 x,yx, y 被称为正交；如果每个 x∈Vx \in V 都与每个 y∈V′y \in V' 正交，则 Rn\mathbf{R}^n 中的两个向量子空间 V,V′V, V' 被称为正交；如果分别与 PP 和 P′P' 平行的向量子空间是正交的，则两个仿射线性簇 P,P′P, P' 被称为正交。

3. 欧氏球体和球体

对于每个整数p>0p > 0，令UpU_p表示Rn\mathbf{R}^n的点的所有对(x,y)(x, y)中的集合，使得d(x,y)<1/pd(x, y) < 1/p；不等式(3)表明集合UpU_p形式是Rn\mathbf{R}^n均匀性的基本系统(cf.章IX, § 2)。

从这个事实和不等式

∣d(x,y)−d(x′,y′)∣≤d(x,x′)+d(y,y′), |d(x, y) - d(x', y')| \leq d(x, x') + d(y, y'),
即(1)的推论，我们推断d(x,y)d(x, y)在Rn×Rn\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^n上一致连续；因此范数∥x∥=d(0,x)\|x\| = d(0, x)在Rn\mathbf{R}^n上一致连续。

定义 1 0BWR

给定点 x0∈Rnx_0 \in \mathbf{R}^n 和实数 r>0r > 0，nn 维数的开（或闭）欧氏球，其中心 x0x_0 和半径 rr 为集合所有点x∈Rnx \in \mathbf{R}^n使得d(x0,x)<rd(x_0, x) < r[分别。 d(x0,x)≤rd(x_0, x) \leq r]； n−1n - 1 维数的欧氏球体，其中中心 x0x_0，半径为 rr，是所有 x∈Rnx \in \mathbf{R}^n 的集合，使得 d(x0,x)=rd(x_0, x) = r。

在不存在混淆风险的情况下，我们简单地用“ball”（分别为“sphere”）来表示“欧氏 ball”（分别为“欧氏 sphere”）。当n=2n = 2时，两个维数的球称为圆盘，一个维数的球体称为圆。当n=1n = 1时，中心x0x_0和半径rr的开（或闭）球为间隔]x0−r,x0+r[]x_0 - r, x_0 + r[（或[x0−r,x0+r][x_0 - r, x_0 + r]）； 中心 x0x_0、半径为rr的球体是这些区间的两个端点x0−r,x0+rx_0 - r, x_0 + r的集合由……组成。

根据上文所述，具有中心 x0x_0 的球（开式或闭式）（或者只是半径为 1/p1/p 的球，其中 pp 穿过整数 >0> 0 的集合）形式是基本系统邻域点 x0x_0。

命题 1 0BWS

Rn\mathbf{R}^n 的每个开（或闭）球都是开（或紧）集合。开球的闭合是具有相同中心和相同半径的闭球；闭球的内部是具有相同中心和相同半径的开球。

中心 x0x_0 和半径 rr 的开（或闭）球是连续函数 d(x0,x)d(x_0, x) 区间]−∞,r[-\infty, r[（或]−∞,r]-\infty, r]）的逆像；因此它是开放的（分别是封闭的和有界的，因此是紧凑的）。如果d(x0,x)=rd(x_0, x) = r，并且如果y=x0+t(x−x0)y = x_0 + t(x - x_0) (0<t<10 < t < 1)是端点为x0x_0和xx的开路段的点，我们有d(x0,y)=tr<rd(x_0, y) = tr < r，并且d(x,y)=(1−t)rd(x, y) = (1 - t)r尽可能小；因此 xx 位于中心 x0x_0 和半径 rr 的开球闭合处。同样，如果 z=x+t(x−x0)z = x + t(x - x_0) (t>0t > 0) 是原点为 xx、方向为向量 x−x0x - x_0 的开射线的点，我们有

d(x0,z)=(1+t)r>r, d(x_0, z) = (1 + t)r > r,
d(x,z)=trd(x, z) = tr 尽可能小；因此，xx不是具有中心x0x_0和半径rr的封闭球的内部点。

推出 0BWT

每个欧氏球体的紧集是具有相同中心和相同半径的开球和闭球的边界。

将映射 x→1r(x−x0)x \to \frac{1}{r}(x - x_0) 变换中心 x0x_0 和半径 rr 的球体（分别为开球、闭球）放入中心 oo 和半径 11 的球体（分别为开球、闭球）；这个球体用Sn−1S_{n-1}表示，在Rn\mathbf{R}^n中称为单位球体。同样，中心oo、半径为11的闭球用BnB_n表示，在Rn\mathbf{R}^n中称为单位球。因此，(n−1)(n - 1) 维数球体（分别为 nn 维数的闭球）的拓扑研究被简化为 Sn−1S_{n-1}（分别为 BnB_n）的拓扑研究。对于开球，我们有以下命题：

命题 2 0BWU

每个nn维开球都同胚于Rn\mathbf{R}^n。

被以下引用 1

被以下引用 命题 2, VIII § 1

对于映射x→x1+∣∣x∣∣x \to \frac{x}{1 + ||x||}，在Rn\mathbf{R}^n和映射Rn\mathbf{R}^n上连续到中心oo和半径11的开球上；此外，从y=x1+∣∣x∣∣y = \frac{x}{1 + ||x||}我们推导出x=y1−∣∣y∣∣x = \frac{y}{1 - ||y||}，因此映射是双射且双连续的。

让Rn∗\mathbf{R}_n^*表示Rn\mathbf{R}^n中oo的补集。

命题 3 0BWV

空间Rn∗\mathbf{R}_n^*同胚于Sn−1S_{n-1}的乘积和实数>0> 0的空间R+∗\mathbf{R}_+^*。

被以下引用 4

被以下引用 定理 2, LIE IX § 9, 命题 5, 命题 1, VIII § 1, VIII § 2. 角度测量，三角测量函数

对于每个点x≠ox \neq o都可以唯一地写成形式tztz，其中t>0t > 0和∣∣z∣∣=1||z|| = 1，因为x=tzx = tz意味着t=∣∣x∣∣t = ||x||和z=x/∣∣x∣∣z = x/||x||。由于tztz在乘积R×Rn\mathbf{R} \times \mathbf{R}^n上连续，因此*更不必说*在R+∗×Sn−1\mathbf{R}_+^* \times S_{n-1}上连续，并且由于∣∣x∣∣||x||和1∣∣x∣∣\frac{1}{||x||}在Rn∗\mathbf{R}_n^*上连续，因此证明了命题。

映射 x→x/∣∣x∣∣x \to x/||x|| 被称为Rn∗\mathbf{R}_n^* 到Sn−1S_{n-1} 的*中心投影*。一个定义以同样的方式将点aa的补集的*中心投影*放到具有中心aa的球面上。

推论 1 0BWW

球体* Sn−1S_{n-1} 与 Rn∗\mathbf{R}_n^* 与等价关系的商同胚，其中类是原点 oo 的开射线。

这些类也可以被定义为比>0> 0的同位性群除了{o}\{ o \}之外的不及物性**类。

推论 2 0BWX

空间* Rn∗\mathbf{R}_n^* 同构于 R×Sn−1\mathbf{R} \times S_{n-1}。

引用了 1

引用了 命题 1, IV § 4

因为 R+∗=]0,+∞[\mathbf{R}_+^* = ]0, +\infty[ 同胚于 R\mathbf{R} (章 IV, § 4, no. 1, 命题 1)。

注 0BWY

这些命题并不是欧氏球所特有的，而是可以扩展到Rn\mathbf{R}^n中oo的紧凑型邻域的整个类别（参见习题12）。

集合 Sn−1S_{n-1} 和 BnB_n 在所有正交变换下显然是不变的。如果VV是Rn\mathbf{R}^n中的pp维向量子空间，则存在变换VV到pp维坐标系的正交变换；因此V∩Sn−1V \cap S_{n-1}（分别V∩BnV \cap B_n）与Sp−1S_{p-1}（分别BpB_p）同胚。

引用了 1

引用了 习题 12, § 2

4. 立体投影

考虑 Sn−1S_{n-1} 的点 en=(0,…,0,1)e_n = (0, \ldots, 0, 1)，以及超平面 HH 以及方程 xn=0x_n = 0，与向量 ene_n 正交。对于Sn−1S_{n-1}中的每个点x=(xi)x = (x_i)，除了ene_n之外，让我们制作对应点yy，其中通过ene_n和xx的线与超平面HH相交（图3）。很容易验证我们有

y=11−xn(x−xnen) y = \frac{1}{1 - x_n} (x - x_n e_n)

和

x=∣∣y∣∣2−1∣∣y∣∣2+1en+2∣∣y∣∣2+1y. x = \frac{||y||^2 - 1}{||y||^2 + 1} e_n + \frac{2}{||y||^2 + 1} y.

!图表显示立体图投影

图 3.

如果我们用AA表示Sn−1S_{n-1}中{en}\{ e_n \}的补集，那么这些公式表明我们已经定义了AA到超平面HH的同胚。这种同胚被称为AA到HH的立体投影投影，或者（滥用语言）Sn−1S_{n-1}到HH的立体投影投影； ene_n是投影的顶点，HH超平面是投影的顶点。更一般地，如果H′H'是超平面经过到oo（BnB_n的直径超平面），并且如果aa是Sn−1S_{n-1}的交的点之一，并且直线通过oo与H′H'经过正交，我们可以以同样的方式将定义顶点为aa的立体投影放到投影H′H'的超平面上；在任何情况下，这个投影都可以通过正交变换返回到前一个变换H′H'到HH和aa到ene_n。

命题 4 0BWZ

如果 n>1n > 1、欧氏球体 Sn−1S_{n-1} 同胚于空间 Rn−1\mathbf{R}^{n-1}，通过邻接“无穷远处的点”而变得紧致*（章 I, § 9, no. 8、定理 4）。

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了 定理 4（亚历山德罗夫）, I § 9

被以下引用 习题 13, § 2, 习题 4, § 2, 习题 6, § 2, VI § 3. 真实投影空间

对于立体投影定义，Sn−1S_{n-1}中点的补集到Rn\mathbf{R}^n的超平面的同胚，它与Rn−1\mathbf{R}^{n-1}同胚。

推论 1 0BX0

球体SnS_n同胚于通过识别球体Sn−1S_{n-1}的所有点而获得的球BnB_n的商空间*。

引用了 3

引用了 I § 8. 豪斯多夫空间和常规空间, 命题 15, I § 8, 定理 4（亚历山德罗夫）, I § 9

球BnB_n是常规空间（章I, § 8, no. 4）；因此，通过识别Sn−1S_{n-1}的所有点得到空间FF与BnB_n的商是*Hausdorff*（章I, § 8, no. 6，命题15）。由于 BnB_n 是紧致的，FF 也是紧致的，因此 FF 同胚于 nn 维数的开球，通过在无穷远处邻接点使其紧致，由 Alexandroff 的定理 (章) I, § 9, no. 8、定理 4)。因此，结果由命题 2 和 4 得出。

推论 2 0BX1

圆S1S_1同胚于环面TT*。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 VIII § 2. 角度测量，三角测量函数

被以下引用 习题 6, § 2

在章VIII, § 2, no. 1中，我们将再次获得这个结果，作为更精确的定理的推论。

命题 5 0BX2

如果n>1n > 1、欧氏球体Sn−1S_{n-1}是连通且局部连通的，并且它的每一个点都有一个与Rn−1\mathbf{R}^{n-1}同胚的开邻域。

引用了 4 · 被以下引用 2

引用了 命题 1, I § 11, 命题 8, I § 11, 习题 10, § 1, 命题 3

被以下引用 注 3, VIII § 1, 定理 1, VIII § 2

Sn−1S_{n-1} 中点的补集是连通稠密集合，因此 (章 I, § 11, no. 1, 命题 1) Sn−1S_{n-1} 是连通的。要看到每个点都有与Rn−1\mathbf{R}^{n-1}同胚的邻域，我们只需从给定点以外的顶点进行立体投影。

从这个命题和no. 3的命题3可以得出，Rn∗\mathbf{R}_n^*是两个相连的空间的乘积，是相连的（章I, § 11, no. 4，命题8； cf.§ 1、习题10)。

Sn−1S_{n-1}的交和由BnB_n的直径超平面确定的闭（或开）半空间称为Sn−1S_{n-1}的*闭*（或*开*）*半球*。通过将投影立体投影到超平面，不具有包含投影顶点的闭合（或开放）半球被映射到 n−1n - 1 维数的*闭合*（或*开放*）球上，因此它与该球是*同胚*的。

如果n=2n = 2，我们说“半圆”而不是“半球”。

习题

参见习题为 § 2。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。