习题 12, § 2

如果对于所有 $x \in E$ 和所有 $t \in [0, 1]$，我们有 $tx \in E$，则 $\mathbf{R}^n$ 的子集 E，其中包含原点 o 被认为是星状的（相对于 o）。 E 的交与原点 o 的闭合射线要么是整条射线，要么是其中 o 为一个端点的线段。 E 的壳是这些段的非零端点的集合 K 由……组成，如果存在一条射线，其交与 E 单独由 o 组成。接下来我们假设$o \notin K$。

a) 证明E的壳包含在E的边界内。给出例，其中这两个集合不同。

b) 证明，如果 E 的壳 K 是紧的，则存在 $\mathbf{R}^n$ 自身同胚，其中映射 K 到 $S_{n-1}$，$\overline{E}$ 到 $B_n$，E 的内部到 $B_n$ 的内部（映射每个点 $x \in K$ 到其$S_{n-1}$上的中央投影，然后扩展这个映射到整个$\mathbf{R}^n$）。推导出 E 重合与其外壳的边界，以及 E 的内部为点 $tx$ 的集合，其中 $x \in K$ 和 $t \in [0, 1[$。

c) 如果 E 无界，并且其边界重合与其壳，则 E 的内部同胚于 $\mathbf{R}^n$，且其壳 K 同胚于 $S_{n-1}$ 的开子集 [证明 E 的像在同态 $x \to x/(1 + ||x||)$ 下满足b) 的条件]。

d) 给出一个无界星形集合 E 的例，其壳是封闭的，但与 E 的边界不同。