Bài tập 12, § 2

Một tập con E của $\mathbf{R}^n$ chứa gốc o được gọi là sao (đối với o) nếu, với mọi $x \in E$ và mọi $t \in [0, 1]$, ta có $tx \in E$. Giao của E với một tia đóng có gốc o hoặc là toàn bộ tia hoặc là một đoạn mà o là một đầu mút. Vỏ của E là tập hợp K gồm các đầu mút khác không của các đoạn này, cùng với o nếu tồn tại một tia mà giao của nó với E chỉ gồm o. Trong phần tiếp theo ta sẽ giả sử rằng $o \notin K$.

a) Chứng minh rằng vỏ của E được chứa trong biên của E. Hãy cho một ví dụ trong đó hai tập hợp này khác nhau.

b) Chứng minh rằng, nếu vỏ K của E là compact, thì tồn tại một phép đồng phôi từ $\mathbf{R}^n$ lên chính nó biến K thành $S_{n-1}$, $\overline{E}$ thành $B_n$ và phần trong của E thành phần trong của $B_n$ (ánh xạ mỗi điểm $x \in K$ thành phép chiếu trung tâm của nó trên $S_{n-1}$, rồi mở rộng ánh xạ này lên toàn bộ $\mathbf{R}^n$). Suy ra rằng biên của E trùng với vỏ của nó, và rằng phần trong của E là tập hợp các điểm $tx$, trong đó $x \in K$ và $t \in [0, 1[$.

c) Nếu E không bị chặn và nếu biên của nó trùng với vỏ của nó, thì phần trong của E đồng phôi với $\mathbf{R}^n$, và vỏ K của nó đồng phôi với một tập con mở của $S_{n-1}$ [chứng minh rằng ảnh của E qua phép đồng phôi $x \to x/(1 + ||x||)$ thỏa mãn các điều kiện của b)].

d) Hãy cho một ví dụ về một tập hợp sao không bị chặn E có vỏ đóng nhưng không đồng nhất với biên của E.