Exercice 12, § 2

On dit qu’une partie $E$ de $\mathbf{R}^n$, contenant l’origine 0, est un ensemble étoilé (par rapport à 0) si, quels que soient $x \in E$ et $t \in (0, 1]$, on a $tx \in E$. L’intersection de $E$ et d’une demi-droite fermée d’origine 0 est cette demi-droite tout entière, ou un segment dont 0 est une extrémité : on appelle coque de $E$ l’ensemble $K$ formé des extrémités $\neq 0$ des segments

¹ Nous verrons plus tard que, pour $n > 1$, la proposition est encore vraie même si $f(S_1) = S_n$. ² Nous donnerons plus tard une définition générale d’une application inessentielle d’un espace topologique dans un espace topologique quelconque, et nous montrerons alors que, pour les applications dans $S_1$, cette définition est équivalente à celle qui est donnée ici.

EXERCICES

précédents, et de 0 lorsque l’intersection d’une demi-droite et de E se réduit à 0. On suppose dans ce qui suit que $0 \notin K$.

a) Montrer que la coque de E est contenue dans la frontière de E; donner un exemple où ces deux ensembles sont différents.

b) Si E est borné et si la coque K de E est compacte, il existe un homéomorphisme de $\mathbf{R}^n$ sur lui-même, qui applique K sur $S_{n-1}$, $\overline{E}$ sur $B_n$, et l’intérieur de E sur l’intérieur de $B_n$ (faire correspondre à tout point $x \in K$ la projection centrale de ce point sur $S_{n-1}$, puis prolonger cette application à $\mathbf{R}^n$ tout entier). En déduire que la frontière de E est identique à sa coque K, et que l’intérieur de E est l’ensemble des $t x$, où x parcourt K, et t l’intervalle $[0, 1[$ de $\mathbf{R}$.

c) Si E est non borné, et si sa frontière est identique à sa coque, l’intérieur de E est homéomorphe à $\mathbf{R}^n$, et sa coque K est homéomorphe à une partie ouverte de $S_{n-1}$ (montrer que l’image de E par l’homéomorphisme $x \to x/(1 + \|x\|)$ satisfait aux conditions de b)).

d) Donner un exemple d’ensemble étoilé non borné E, dont la coque est fermée, mais non identique à la frontière de E.