习题 6, § 2

将 $S_1$ 与环面 $T$ 等价，$\mathbf{R}$ 与关系 $x \equiv y \pmod{1}$ 的商（no. 4，命题 4，推论 2），令 $\varphi$ 表示典范映射 $\mathbf{R}$ 到$S_1$。如果存在$E$到$\mathbf{R}$的连续映射$g$使得$f = \varphi \circ g$，则拓扑空间$E$到$S_1$的连续映射$f$是*不必要的*。 (**) 映射不是无关紧要的，据说是*必要的*。

证明 $S_1$ 的恒等映射到 $S_1$ 是必需的（使用习题 4）。