Exercice 6, § 2

Identifiant $S_1$ au tore $T$, quotient de $\mathbf{R}$ par la relation $x \equiv y$ (mod. 1) (VI, p. 12, cor. 4), on désigne par $\varphi$ l’application canonique de $\mathbf{R}$ sur $S_1$. On dit qu’une application continue $f$ d’un espace topologique $E$ dans $S_1$ est inessentielle s’il existe une application continue $g$ de $E$ dans $\mathbf{R}$ telle que l’on ait $f = \varphi \circ g^2$; une application non inessentielle est dite essentielle.

Montrer que l’application identique de $S_1$ sur $S_1$ est essentielle (utiliser l’exerc. 4).