习题 10, § 1

a) 令$\mathfrak{M}$为有限集合，令$R \{ x, y \}$为$\mathfrak{M}$的元素$x, y$之间的对称关系。 Suppose that there exist two distinct elements $a, b$ in $\mathfrak{M}$ with the following properties: there exist $x \neq a$ and $y \neq b$ such that $x$ (resp. $y$) is the only element $z \in \mathfrak{M}$ such that $R \{ a, z \}$ (resp. $R \{ b, z \}$) is true; and for each $t \in \mathfrak{M}$ other than $a$ and $b$, the set of all $z \in \mathfrak{M}$ such that $R \{ t, z \}$ is true is a set consisting of two elements, distinct from $t$. 证明在这些条件下，存在 $\mathbf{N}$ 到 $\mathfrak{M}$ 的区间 $[0, n]$ 的双射 $i \to x_i$，使得 $x_0 = a, x_n = b$ 且$R \{ x_{i-1}, x_i \}$ 对于 $1 \leq i \leq n$ 成立（定义 $x_i$ 通过归纳 $i$）。

b) 在$\mathbf{R}^n$($n \geq 2$)中，以$\mathbf{R}^{n-1} \times \mathbf{R}$为标识，令$L$和$L'$为两条折线，分别由两个序列、$(x_i)_{0 \leq i \leq p}$和$(x'_j)_{0 \leq j \leq q}$定义，具有以下性质： (i) 如果我们放入$x_i = (y_i, z_i)$、$x'_j = (y'_j, z'_j)$，我们有$z_0 = z'_0 = 0, z_p = z'_q = 1, 0 < z_i < 1$对应$1 \leq i \leq p - 1$，$0 < z'_j < 1$对应$1 \leq j \leq q - 1$； (ii) $p + q - 2$ 数 $z_i, z'_j$ ($1 \leq i \leq p - 1, 1 \leq j \leq q - 1$) 都是不同的； (iii) $L$（或$L'$）的两个不同边在公共的中最多有一个点 [可能是也可能不是$x_i$（或$x'_j$）之一]。证明存在两个分段满射线性映射 (习题 6) $u : I \to L, u' : I \to L'$，其中$I$是$\mathbf{R}$的区间$[0, 1]$，这样，如果我们放入$u(t) = (v(t), \zeta(t))$，$u'(t) = (v'(t), \zeta'(t))$ ($t \in I$)，我们有$\zeta(t) = \zeta'(t)$ 对于所有$t \in I$，

[令$(a_k)_{1 \leq k \leq p+q-2}$为除0和1之外的$z_i$和$z'_j$组成的严格递增的序列，并放入$a_0 = 0, a_{p+q-1} = 1$；让$B_i$表示所有$x = (y, z) \in \mathbf{R}^n$中的集合，这样

让$\mathfrak{M}$表示所有对$\gamma = (C, C')$的集合，其中$C$（分别$C'$）是同一个$B_i$的交，边为$L$（分别$L'$），这样既不$C$ 也不是 $C'$ 由单个点组成；令$R \{ \alpha, \beta \}$表示$\mathfrak{M}$的元素$\alpha, \beta$之间的以下关系：“$\alpha \neq \beta$；如果$\alpha = (C_1, C'_1), \beta = (C_2, C'_2)$，则$C_1 \cap C_2$和$C'_1 \cap C'_2$不为空，其中一个由单个点组成，如果这个点不是$x_i$（或$x'_j$）之一，则$C_1$和$C_2$（或$C'_1$和$C'_2$）都包含在$L$（或$L'$）的同一侧”。证明a)适用于关系$R.$]

c) 在$\mathbf{R}^n$中，用$\mathbf{R}^{n-1} \times \mathbf{R}$标识，令$K$为连接的紧集，使得$K \cap (\mathbf{R}^{n-1} \times \{0\})$包含至少有两个不同的点。证明如果 $K' = K - K$（所有 $x - y$ 中的集合，其中 $x \in K$ 和 $y \in K$），则 $K' \cap (\mathbf{R}^{n-1} \times \{0\})$ 包含是一个相连的集合，它不由单个点组成。 [使用 b)、应用章 II、、命题 6 和习题 15。]