Bài tập 10, § 1

(a) Cho $\mathfrak{M}$ là một tập hợp hữu hạn và $R \{ x, y \}$ là một quan hệ đối xứng giữa các phần tử $x, y$ của $\mathfrak{M}$. Giả sử tồn tại hai phần tử phân biệt $a, b$ trong $\mathfrak{M}$ với các tính chất sau: tồn tại $x \neq a$ và $y \neq b$ sao cho $x$ (tương ứng $y$) là phần tử duy nhất $z \in \mathfrak{M}$ sao cho $R \{ a, z \}$ (tương ứng $R \{ b, z \}$) là đúng; và với mỗi $t \in \mathfrak{M}$ khác $a$ và $b$, tập hợp tất cả các $z \in \mathfrak{M}$ sao cho $R \{ t, z \}$ là đúng là một tập hợp gồm hai phần tử, phân biệt với $t$. Chứng minh rằng dưới các điều kiện này tồn tại một song ánh $i \to x_i$ của một khoảng $[0, n]$ của $\mathbf{N}$ lên $\mathfrak{M}$ sao cho $x_0 = a, x_n = b$ và sao cho $R \{ x_{i-1}, x_i \}$ là đúng với $1 \leq i \leq n$ (định nghĩa $x_i$ bằng quy nạp theo $i$).

b) Trong $\mathbf{R}^n$ ($n \geq 2$), đồng nhất với $\mathbf{R}^{n-1} \times \mathbf{R}$, cho $L$ và $L'$ là hai đường gãy, lần lượt được xác định bởi hai dãy $(x_i)_{0 \leq i \leq p}$ và $(x'_j)_{0 \leq j \leq q}$, với các tính chất sau: (i) nếu đặt $x_i = (y_i, z_i)$, $x'_j = (y'_j, z'_j)$, ta có $z_0 = z'_0 = 0, z_p = z'_q = 1, 0 < z_i < 1$ với $1 \leq i \leq p - 1$ và $0 < z'_j < 1$ với $1 \leq j \leq q - 1$; (ii) $p + q - 2$ số $z_i, z'_j$ ($1 \leq i \leq p - 1, 1 \leq j \leq q - 1$) đôi một phân biệt; (iii) hai cạnh phân biệt của $L$ (tương ứng $L'$) có nhiều nhất một điểm chung [điểm này có thể hoặc không thể là một trong các $x_i$ (tương ứng $x'_j$)]. Chứng minh rằng tồn tại hai ánh xạ tuyến tính từng mảnh toàn ánh (Bài tập 6) $u : I \to L, u' : I \to L'$, trong đó $I$ là khoảng $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$, sao cho, nếu đặt $u(t) = (v(t), \zeta(t))$, $u'(t) = (v'(t), \zeta'(t))$ ($t \in I$), ta có $\zeta(t) = \zeta'(t)$ với mọi $t \in I$,

Cho $(a_k)_{1 \leq k \leq p+q-2}$ là dãy tăng ngặt được tạo thành bởi các $z_i$ và các $z'_j$ khác 0 và 1, và đặt $a_0 = 0, a_{p+q-1} = 1$; ký hiệu $B_i$ là tập hợp tất cả các $x = (y, z) \in \mathbf{R}^n$ sao cho

ký hiệu $\mathfrak{M}$ là tập hợp tất cả các cặp $\gamma = (C, C')$, trong đó $C$ (tương ứng $C'$) là giao của cùng một $B_i$ với một cạnh của $L$ (tương ứng $L'$), sao cho cả $C$ lẫn $C'$ đều không gồm một điểm duy nhất; và ký hiệu $R \{ \alpha, \beta \}$ là quan hệ sau đây giữa các phần tử $\alpha, \beta$ của $\mathfrak{M}$: " $\alpha \neq \beta$; nếu $\alpha = (C_1, C'_1), \beta = (C_2, C'_2)$, thì $C_1 \cap C_2$ và $C'_1 \cap C'_2$ đều không rỗng, một trong chúng gồm một điểm duy nhất, và nếu điểm này không phải là một trong các $x_i$ (tương ứng $x'_j$) thì $C_1$ và $C_2$ (tương ứng $C'_1$ và $C'_2$) đều được chứa trong cùng một cạnh của $L$ (tương ứng $L'$)". Chứng minh rằng a) áp dụng được cho quan hệ $R.$