Exercice 10, § 1

a) Soit $\mathscr{M}$ un ensemble fini, $R \{x, y\}$ une relation symétrique entre éléments de $\mathscr{M}$. On suppose qu’il existe deux éléments distincts $a, b$ de $\mathscr{M}$ ayant les propriétés suivantes: il existe $x \neq a$ et $y \neq b$ tel que $x$ (resp. $y$) soit le seul élément $z \in \mathscr{M}$ tel que $R \{a, z\}$ (resp. $R \{b, z\}$) soit vraie; en outre, pour tout $t \in \mathscr{M}$ distinct de $a$ et de $b$, l’ensemble des $z \in \mathscr{M}$ tel que $R \{t, z\}$ soit vraie est un ensemble à deux éléments, distincts de $t$. Montrer que dans ces conditions, il existe une bijection $i \mapsto x_i$ d’un intervalle $[0, n]$ de $\mathbf{N}$ sur $\mathscr{M}$ telle que $x_0 = a$, $x_n = b$ et que l’on ait la relation $R \{x_{i-1}, x_i\}$ pour $1 \leq i \leq n$ (définir $x_i$ par récurrence sur $i$).

b) Dans $\mathbf{R}^n$ (pour $n \geq 2$), identifié à $\mathbf{R}^{n-1} \times \mathbf{R}$, soient $L$ et $L'$ deux lignes brisées, définies respectivement par deux suites $(\mathbf{x}_i)_{0 \leq i \leq p}$, $(\mathbf{x}'_j)_{0 \leq j \leq q}$, et ayant les propriétés suivants: 1° si on pose $\mathbf{x}_i = (y_i, z_i)$, $\mathbf{x}'_j = (y'_j, z'_j)$, on a $z_0 = z'_0 = 0$, $z_p = z'_q = 1$, $0 < z_i < 1$, $0 < z'_j < 1$ pour $1 \leq i \leq p - 1$ et $1 \leq j \leq q - 1$; 2° les $p + q - 2$ nombres $z_i, z'_j$ pour $1 \leq i \leq p - 1$, $1 \leq j \leq q - 1$ sont tous distincts; 3° deux côtés distincts de $L$ (resp. $L'$) ont au plus un point commun (qui peut ou non être un des $\mathbf{x}_i$ (resp. $\mathbf{x}'_j$)). Montrer qu’il existe deux applications surjectives linéaires par morceaux (VI, p. 21, exerc. 6) $u : I \to L$, $u' : I \to L'$, où $I$ est l’intervalle $(0, 1)$ de $\mathbf{R}$, telles que, si l’on pose $u(t) = (v(t), \zeta(t))$, $u'(t) = (v'(t), \zeta'(t))$ pour $t \in I$, on ait $\zeta(t) = \zeta'(t)$ pour tout $t \in I$, $\zeta(0) = \zeta'(0) = 0$, $\zeta(1) = \zeta'(1) = 1$. (Soit $(a_k)_{1 \leq k \leq p+q-2}$ la suite strictement croissante des $z_i$ et des $z'_j$ distincts de 0 et de 1; on pose en outre $a_0 = 0$, $a_{p+q-1} = 1$, et on désigne par $B_i$ l’ensemble des $x = (y, z) \in \mathbf{R}^n$ tels que $a_{i-1} \leq z \leq a_i$, pour $1 \leq i \leq p + q - 1$. Soit $\mathscr{M}$ l’ensemble des couples $\gamma = (C, C')$, où $C$ (resp. $C'$) est l’intersection d’un même $B_i$ avec un côté de $L$ (resp. $L'$) tel que ni $C$ ni $C'$ ne soient réduits à un point. On désigne par $R \{ \alpha, \beta \}$ la relation suivante entre éléments de $\mathfrak{M}$: « $\alpha \neq \beta$; si $\alpha = (C_1, C'_1), \beta = (C_2, C'_2)$, $C_1 \cap C_2$ et $C'_1 \cap C'_2$ sont non vides, l’un d’eux est réduit à un point, et si ce point n’est pas un des $x_i$ (resp. $x'_j$), $C_1$ et $C_2$ (resp. $C'_1$ et $C'_2$) sont contenus tous deux dans un même côté de $L$ (resp. $L'$ ». Montrer qu’on peut appliquer a) à la relation $R$.

c) Dans $\mathbf{R}^n$, identifié à $\mathbf{R}^{n-1} \times \mathbf{R}$, soit $K$ un ensemble compact connexe tel que $K \cap (\mathbf{R}^{n-1} \times \{0\})$ ne soit pas vide ni réduit à un point. Montrer que si on pose $K' = K - K$ (ensembles des $x - y$, où $x, y$ parcourent $K$), $K' \cap (\mathbf{R}^{n-1} \times \{0\})$ contient un ensemble connexe non réduit à un point. (Utiliser b), en appliquant II, p. 32, prop. 6 et II, p. 38, exerc. 15.)