§ 1. 复数，四元数

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1. 复数，四元数

1. 定义复数

多项式 $X^2 + 1$ 在 $\mathbf{R}$ 中没有根，因为 $x^2 + 1 \geq 1$ 对于所有 $x \in \mathbf{R}$ ；因此它在 $\mathbf{R}$ 上是不可约的。 [这是适用于任何有序域的类似结果的特殊情况。]

定义 1 0BZV

域* $\mathbf{R}[X]/(X^2 + 1)$ 称为复数的域，记为 $\mathbf{C}$ 。 * $X$ 中 $\mathbf{C}$ *的典范像 * 表示为* $i$ ，*因此* $\mathbf{C}$ * 由域* $\mathbf{R}$ * 通过根* $i$ * 的代数伴随获得多项式* $X^2 + 1$ 。 * $\mathbf{C}$ 的元素称为复数*。

被以下引用 1

被以下引用 § 1. 复数，四元数

从代数点的角度来看，域 $\mathbf{C}$ 的重要性归因于以下基本定理：

定理 1 0BZW

（达朗贝尔-高斯）。域 $\mathbf{C}$ 复数是代数闭。

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 IV § 3. 实数的域, 定理 2（博尔扎诺）, IV § 6

被以下引用 § 1. 复数，四元数, 注 1

对于证明，足以确定 (i) $\mathbf{R}$ 中的每个元素 $\geq 0$ 都有一个 平方根，并且 (ii) 系数在 $\mathbf{R}$ 中的奇数次数的每个多项式有 至少一个根在 $\mathbf{R}$ 。其中第一个断言已在章IV, § 3, no. 3中得到证明。对于第二个，如果 $f(X) = a_0 X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$ 是具有实数系数的奇数次数 $n$ ( $a_0 \neq 0$ ) 的多项式，我们可以将 $x \neq 0$ 写为 $f(x) = a_0 x^n g(x)$ ，其中

g(x) = 1 + \frac{a_1}{a_0 x} + \cdots + \frac{a_n}{a_0 x^n}

趋于 $+1$ ，因为 $x$ 趋于 $+\infty$ 或 $-\infty$ 。因此，存在数 $a > 0$ ，使得 $f(a)$ 具有 $a_0$ 的符号，并且 $f(-a)$ 具有 $-a_0$ 的符号；

因此根据 Bolzano 的定理 (章 IV, § 6, no. 1, 定理 2)， $f$ 在 $[—a, a]$ 中至少有一个根。

注 1 0BZX

利用域 $\mathbf{C}$ 的拓扑性质，可以在不援引有序域理论的情况下证明定理1，其定义如下（no. 2）；请参阅§ 2、习题 2 以及级数的部分，专门用于代数拓扑，其中达朗贝尔-高斯的定理将显示为映射的次数结果的推论。

引用了 2

引用了定理 1, 习题 2, § 2

注 2 0BZY

由于 $\mathbf{C}$ 的次数 2 大于 $\mathbf{R}$ ，因此 $\mathbf{C}$ 是同构以内的 $\mathbf{R}$ 除了 $\mathbf{R}$ 本身以外的唯一代数扩张，并且 $\mathbf{C}$ 中不包含域，其中包含 $\mathbf{R}$ ， $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{C}$ 除外。

我们知道 $\mathbf{R}$ 可以与 $\mathbf{C}$ 的子域等同，并且每个 $z \in \mathbf{C}$ 都可以唯一地写成形式 $x + iy$ ，其中 $x$ 和 $y$ 是实数； $x$ 称为 $z$ 的实部分，记为 $\Re(z)$ ； $y$ $z$ 的虚数部分，记为 $\Im(z)$ 。形式 $iy$ （ $y$ 实数）中的复数称为纯虚数。关系 $x + iy = 0$ （ $x, y$ 实数）相当于 $x = 0$ 和 $y = 0$ 。

从 $i^2 = -1$ 、元素到 $\mathbf{C}$ （由实部和虚部部分给出）满足计算规则如下：

(x + iy) + (x' + iy') = (x + x') + i(y + y')

(x + iy)(x' + iy') = (xx' - yy') + i(xy' + x'y').

特别是 $(x + iy)(x - iy) = x^2 + y^2 \in \mathbf{R}$ ，因而，如果 $x + iy \neq 0$ ，

\frac{1}{x + iy} = \frac{x}{x^2 + y^2} - i \frac{y}{x^2 + y^2}.

$\mathbf{C}$ 中多项式 $X^2 + 1$ 的第二个根是 $-i$ ；因而，除了恒等映射之外， $\mathbf{C}$ 中唯一使所有实数保持不变的自同构是映射 $z = x + iy$ 到 $x - iy$ ；后者用 $\overline{z}$ 表示，（与一般的定义一致）称为复数共轭至 $z$ 。我们有

\Re(z) = \frac{1}{2}(z + \overline{z}) \quad \text{and} \quad \Im(z) = \frac{1}{2i}(z - \overline{z}).

由于自同构，如果 $f(z)$ 是具有实数系数的多项式，则对于所有 $z \in \mathbf{C}$ ，我们都有 $f(\overline{z}) = \overline{f(z)}$ 。

实数 $z \overline{z} = x^2 + y^2$ 被称为 $z$ 的代数范数，或者在不存在混淆风险的情况下简称为范数；它是实数 $\geq 0$ ，只有 $z = 0$ 才会消失。当 $z$ 为实数时，实数 $\sqrt{z \overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2} \geq 0$ 约化到 $z$ 的绝对值，当 $z$ 为任意时，我们仍然称其为 $z$ 的绝对值，并用 $|z|$ 表示复数。关系 $|z| = 0$ 相当于 $z = 0$ 。如果 $z$ 和 $z'$ 是两个复数，则 $zz'$ 的共轭是 $\overline{zz'}$ ，因而 $|zz'|^2 = zz'\overline{zz'} = |z|^2|z'|^2$ ，因而 $|zz'| = |z|\cdot|z'|$ ：*乘积的绝对值是乘积因子的绝对值。*特别是，如果 $z \neq 0$ 和 $z' = 1/z$ ，我们有 $|1/z| = |1/z|$ 。

最后，对于所有复数 $z, z'$ ，我们有*三角形不等式*

|z + z'| \leq |z| + |z'|.

2. $\mathbf{C}$ 的拓扑

实平面 $\mathbf{R}^2$ 到 $\mathbf{C}$ 的映射 $(x, y) \to x + iy$ 是*双射的*；通过这个双射，我们可以*迁移*到 $\mathbf{R}^2$ 的 $\mathbf{C}$ 拓扑（cf.章VI, § 1, no. 5）。因此在 $\mathbf{C}$ 上定义的拓扑与 $\mathbf{C}$ （章III, § 6, no. 7）的域结构*相容的*，因为它与 $\mathbf{C}$ （章VI, § 1, no. 5）的环结构兼容，并且， (3)、 $1/z$ 在 $\mathbf{C}$ 中0的补 $\mathbf{C}^*$ 上连续。

如果我们赋予集合 $\mathbf{C}$ 这个拓扑和之前定义的域结构（no. 1，定义1），我们就在 $\mathbf{C}$ 结构上定义了一个*拓扑域* （章III, § 6, no. 7）；每当我们谈到拓扑或 $\mathbf{C}$ 时，它的意思总是上面的拓扑。

以后我们一般将*认同* 集合 $\mathbf{C}$ 和 $\mathbf{R}^2$ 视为拓扑空间；然后， $\mathbf{C}$ 的子域 $\mathbf{R}$ 与 $\mathbf{R}^2$ 的横坐标一致，因此称为*实轴*；同样，纵坐标称为*虚轴*（注，这*不是* $\mathbf{C}$ 的子域）。原点为 0、方向比为 $(1, 0)$ （用 $\mathbf{R}_+$ 标识）的射线称为*正实半轴*；具有相同原点和方向比 $(-1, 0)$ 的相反射线称为*负实半轴*。

为了便于图示，我们使用 $\mathbf{R}^2$ 的表示（在初等解析几何中众所周知）和点的平面，其中绘制了两个垂直的坐标轴，分别代表 $\mathbf{C}$ 的实轴和虚轴（图 7）。

与每个拓扑域一样，具有复数系数的 $n$ 复变量的每个*有理函数*在 $\mathbf{C}^n$ 的每个点处都是*连续的，此时分母不会消失。

!图表显示复平面，轴标记为 x 和 y，点标记为 z = x + iy

图 7.

$\mathbf{C}$ 的置换 $z \to \overline{z}$ 是连续的，因此是拓扑域 $\mathbf{C}$ 的自同构。

事实上，它是拓扑域 $\mathbf{C}$ 中除恒等式自同构之外的唯一自同构（参见习题 4）。

函数 $\Re(z), \Im(z)$ 只是 $\mathbf{R}^2$ 的投影到它的因子上，因此是连续的；绝对值值 $|z|$ 也是如此，因为它是 $\mathbf{R}^2$ 中点 $(x, y)$ 的欧氏范数（章VI, § 2, no. 1）。

绝对值的属性导致另一个证明， $\mathbf{C}$ 的拓扑与其域结构兼容（cf.章IX, § 3, no. 2）； $z + z'$ 的连续性源自三角形不等式 $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ ； $zz'$ 是从关系得出的

|zz' - z_0z'_0| = |z_0(z' - z'_0) + (z - z_0)z'_0 + (z - z_0)(z' - z'_0)| \\ \leq |z_0| \cdot |z' - z'_0| + |z'_0| \cdot |z - z_0| + |z - z_0| \cdot |z' - z'_0|;

最后，

z^{-1}

的连续性来自关系

|z_0^{-1} - z^{-1}| = |z|^{-1} \cdot |z - z_0| \cdot |z_0|^{-1}.

3. 乘法群 $\mathbf{C}^*$

从章III, § 6, no. 7可知，非零复数在乘法群 $\mathbf{C}^*$ 上诱导的拓扑与 $\mathbf{C}^*$ 的群结构兼容。由于 $\mathbf{C}^*$ 在 $\mathbf{C}$ 中开路，因此 $\mathbf{C}^*$ 是局部紧拓扑群（章I, § 9, no. 7，命题13），因此是完备的（相对于乘法均匀性；cf. 章III, § 6, no. 8、命题8)。实数 $> 0$ 的乘法群 $\mathbf{R}_+^*$ 是 $\mathbf{C}^*$ 的闭子群。另一个子群是值 1 的复数的集合 $\mathbf{U}$ ，它与 $\mathbf{R}^2$ 的单位圆 $S_1$ 一致，因此是紧凑的群。此外：

命题 1 0BZZ

拓扑群 $\mathbf{C}^*$ 同构于拓扑群 $\mathbf{R}^*$ 和 $\mathbf{U}$ 的乘积。

引用了 2 · 被以下引用 3

引用了命题 3, VI § 2, 定理 1, V § 4

被以下引用 LIE IX § 1. 。紧李代数, 推论, VIII § 2, 命题 2, VIII § 3

对于映射 $z \to \left( |z|, \frac{z}{|z|} \right)$ 是 $\mathbf{C}^*$ 到 $\mathbf{R}_+^* \times \mathbf{U}$ 的同胚 (章 VI, § 2, no. 3, 命题 3)；紧接着它就是群结构中的同构。

拓扑群 $\mathbf{R}_+^*$ 已知与加法群 $\mathbf{R}$ (章 V, § 4, 定理 1) 同构的；因此，拓扑群 $\mathbf{C}^*$ 的研究被简化为 $\mathbf{U}$ 的研究，我们将在§ 2中考虑。

4. 四元数的除法环

从定理 1 可以得出，域 $\mathbf{R}$ 是极大有序域，因此有限秩在 $\mathbf{R}$ 上的唯一非交换除法环是（直到同构）四元数除法环 $\mathbf{R}$ ；它用 $\mathbf{H}$ 表示，称为实四元数的除法环（或者简称为四元数的除法环，不用担心混淆）。由于 $\mathbf{H}$ 是秩 4超过域 $\mathbf{R}$ ，我们可以在 $\mathbf{H}$ 上的定义拓扑同胚于 $\mathbf{R}^4$ （章VI, § 1, no. 5）。准确地说，我们通常将认同 $\mathbf{H}$ 和 $\mathbf{H}$ 的典范基的 $\mathbf{R}^4$ 、元素 $i, i, j, k$ 分别与 $\mathbf{R}^4$ 的典范基的向量、 $e_0, e_1, e_2, e_3$ 进行识别。

我们记得 $\mathbf{H}$ 的典范基的乘法表由公式给出

i^2 = j^2 = k^2 = -1, \quad ij = -ji = k, jk = -kj = i, \quad ki = -ik = j.

$\mathbf{H}$ 的拓扑不仅与 $\mathbf{H}$ 的环结构（章VI, § 1, no. 5）相容的，而且还与其除法环结构兼容；因为如果 $x$ 是非零四元数，则 $x^{-1}$ 的坐标是 $x$ 坐标的有理数函数，其分母不会消失。因此，赋予了拓扑的除法环 $\mathbf{H}$ 是一个非交换拓扑除法环。 $\mathbf{H}$ 的四元数 $a + bi$ （ $a, b$ 实数）形式a（拓扑）子域，与经常被识别的域 $\mathbf{C}$ 同构的。

We have thus a third example of a locally compact, connected topological division ring, the others being $\mathbf{R}$ and $\mathbf{C}$ . 事实上，这是唯一具有这两个属性的拓扑划分环。

我们从代数知道四元数 $x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k$ 的约化范数是

N(x) = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = ||x||^2

（因此它是欧氏范数 $x$ 的平方）。自从

N(xy) = N(x)N(y),

由此可见，范数 1 的所有四元数中的集合，与球体 $S_3$ 相同，形式是非零四元数乘法群 $\mathbf{H}^*$ 的紧凑子群。

命题 2 0C00

The multiplicative group $\mathbf{H}^*$ of non-zero quaternions is a topological group isomorphic to the product of its subgroups $\mathbf{R}_+^*$ and $S_3$ .

引用了 1

引用了命题 2, VI § 2

每个四元数 $x / o$ 都可以写成 $x \cdot z$ ，其中 $z$ 是范数为1的四元数；由于 $H^*$ 的 $\|xx'\| = \|x\|\cdot\|x'\|$ 、映射 $x \to (\|x\|, x_1, x_2)$ 到 $\mathbf{R}_+^* \times S_2$ 是群结构的同构，而从章VI, § 2, no. 2、命题2，则是同态 $H^*$ 到 $\mathbf{R}_+^* \times S_2$ 。

注 1 0C01

利用关系 $\|x + y\| = \|x\| + \|y\|$ 和 $\|xy\| = \|x\|\cdot\|y\|$ ，可以直接证明，就像no. 2中复数的域一样， $\mathbf{R}^4$ 的拓扑与 $H$ 的环结构相容（cf.）章IX, § 3, no. 2）。

引用了 1

引用了 IX § 3. 可度量群、有价值域、规范空间和代数

注 2 0C02

经证明，球体 $S_1$ 和 $S_n$ 可以携带与其拓扑兼容的群结构。稍后我们将看到，对于除了1和3之外的每个整数 $n$ ， $S_n$ 上不存在与 $S_n$ 的拓扑兼容的群结构。

注 3 0C03

群 $S_2$ 中的每个点都有邻域同构于 $\mathbf{R}^3$ (章 VI, § 2, no. 4, 命题 5)，但 $S_4$ 不局部同构于 $\mathbf{R}^3$ ；因为如果是的话，它会是阿贝尔的，因为它是连接的（章VII, § 2, no. 2，定理1），但事实并非如此，因为 $i$ 和 $j$ 属于到 $S_3$ 和 $ij \neq ji$ （cf.）章V, § 3）。

引用了 3

引用了 V § 3. 群 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{T}$ 的拓扑刻画, 命题 5, VI § 2, 定理 1, VII § 2

习题

参见习题为 § 1。