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3. 实数的域

1. 乘法 $\mathbf{R}$

有理线$\mathbf{Q}$的拓扑不仅与加法群* 结构兼容，还与$\mathbf{Q}$的*域* 结构兼容。对于函数$xy$在$(0, 0) \in \mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$连续，因为对于每个整数$n > 0$关系$|x| \leq 1/n$和$|y| \leq 1/n$一起意味着$|xy| \leq 1/n^2 \leq 1/n$；另一方面，如果$a$是任何非零有理数数，则函数$ax$在$x = 0$连续，因为对于每个整数$n > 0$关系$|x| \leq 1/|n|a|$意味着$|ax| \leq 1/n$。这表明$xy$在$\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$的每点处连续（章III, § 6, no. 3）。

为了证明 $1/x$ 在 $\mathbf{Q}^*$ 上连续，我们应该更精确地证明 $1/x$ 在 0 的任何邻域 V 的补集中是“一致连续”（相对于加法结构）。即我们有

像，在函数 $1/x$ 下，$\mathbf{Q}^*$ 上的任何柯西滤波器（相对于加性均匀性）不具有 0 作为簇点，是柯西滤波器（相对于加性均匀性）。因此 (章 III, , no. 8, 命题 7)

2. 乘法群$\mathbf{R}^*$

从章III, § 6, no. 7我们知道，实直线的拓扑在$\mathbf{R}^*$上诱导的拓扑与$\mathbf{R}^*$的乘法群结构*相容的*；由于$\mathbf{R}^*$是局部紧致空间$\mathbf{R}$的*开*子集，因此$\mathbf{R}^*$是*局部紧致*拓扑群（章I, § 9, no. 7，命题13），因此*完整*（章III, § 3, no. 3，推论1到命题4；这也从章III, § 6, no. 8，命题8得出）；当然，后者性质涉及$\mathbf{R}^*$上的“乘法”均匀性，而不涉及$\mathbf{R}^*$上由$\mathbf{R}$的加法均匀性引起的均匀性。

函数 $xy$ 映射集合 $\mathbf{Q}_+ \times \mathbf{Q}_+$ 变成$\mathbf{Q}_+$，因此映射 $\mathbf{R}_+ \times \mathbf{R}_+$ 变成$\mathbf{R}_+$ (章 I, § 2, no. 1, 定理 1)；在其他字中，两个实数$\geqslant 0$中的*乘积是$\geqslant 0$*。 公式$(-x)y = -xy$和$(-x)(-y) = xy$则表明数$\geqslant 0$和数$\leqslant 0$的乘积是$\leqslant 0$，并且两个数$\leqslant 0$的乘积是 $\geqslant 0$；由此可见

（也可能是通过 $\mathbf{Q} \times \mathbf{Q}$ 相应的关系的扩张获得的）。

如果$x > 0$和$y > 0$我们有$xy \neq 0$，因此$xy > 0$；同样，如果$x < 0$和$y > 0$，则$xy < 0$；如果$x < 0$和$y < 0$，则$xy > 0$。特别是，如果$x \neq 0$我们有$x^2 > 0$，那么实数不能的平方*的*和是零除非，每个数都是零。

如果$x > 0$和$y \leqslant z$（或$y < z$），我们在其他字、*位似的比率* $> 0$ 保留阶在 $\mathbf{R}$上有$xy \leqslant xz$（或$xy < xz$）。从$(-x)y = -xy$开始，位似的比率为$< 0$变换，对$\mathbf{R}$的排序变为相反的排序。

如果$x > 0$我们有$1/x > 0$，因为$x.(1/x) = 1 > 0$。如果$0 < x < y$我们有$xy > 0$，因此$x.(1/xy) < y.(1/xy)$，那就是$1/y < 1/x$。因此，实数$> 0$的集合$\mathbf{R}_+^*$的映射$x \to 1/x$本身就是严格递减。

我们以同样的方式看到，函数$1/x$在]$\leftarrow, 0[$中是严格递减，因此函数$\frac{1}{x-a}$在每个区间]$\leftarrow, a[$和$]a, \to[$中都是严格递减。

由上可知，$\mathbf{R}_+^*$是乘法群$\mathbf{R}^*$的子群；此外，序关系$x \leq y$与$\mathbf{R}_+^*$的乘法群结构兼容；在其他字中，$\mathbf{R}_+^*$是线性有序的群。

两个实数$\geq 0$中的乘积是$\geq 0$，可以用说表示$\mathbf{R}$是有序域：以上所有性质对于所有有序域来说都是公共的。

3. nTH 根

令 $n$ 为任意整数 $> 0$。从关系$0 < x < y$，我们通过$n$上的归纳推出$0 < x^n < y^n$。在其他字中，函数$x \to x^n$对于$x \geq 0$来说是*严格递增的*；它显然在每个点连续，因此（§ 2, no. 6，定理5）它是$\mathbf{R}_+$到区间$I$的同胚。另一方面，由于 $x \geqslant 1$ 蕴涵 $x^{n-1} \geqslant 1$ 并因此蕴含 $x^n \geqslant x$，因此 $I$ 是无界的，因此$I = \mathbf{R}_+$ 也是无界的。 值，对于$x \geqslant 0$，映射$x \to x^n$的倒数用$x^{1/n}$或$\sqrt[n]{x}$表示，称为$x$到幂$1/n$或第n个根 $x$（对于$n = 2, 3$，我们说平方根，立方根；对于$n = 2$，我们写$\sqrt{x}$代替$\sqrt[2]{x}$）。因此，正值数 $x^{1/n}$ 被定义为方程的唯一正值解

特别是我们看到存在实数$x$使得$x^2 = 2$，而没有有理数有这个性质；这样我们就恢复了有理线$\mathbf{Q}$不是完整的空间这一事实。

$\mathbf{R}_+$的映射$x \to x^{1/n}$自身是严格递增的且连续。由(2)我们有$0^{1/n} = 0, 1^{1/n} = 1$，也

因此$x \to x^{1/n}$是拓扑群$\mathbf{R}_+^*$的自同构。

在章V, § 4, no. 1中，我们将通过找到乘法群$\mathbf{R}_+^*$的所有自同构来推广这个结果。

习题

参见习题为 § 3。