对于所有$x \in \mathbf{R}^n$和所有$t \in \mathbf{R}$，足以证明$f(tx) = tf(x)$。如果我们通过$x$ 替换 $x$ 和$\mathbf{R}$ 通过$\mathbf{R}^m$，则该参数与章 V、§ i、no. 3 的命题 5 相同。

通过与章V的命题6相同的推理，§i，no. 4，我们证明延伸$f$的同态，如果存在的话，是*唯一的*。接下来，由$f(A)$生成的$G$的子群$G_1$是*可交换的*；因为如果$x$和$y$是$A$中的任意两个点，那么$\frac{1}{2} x, \frac{1}{2} y$和$\frac{1}{2} (x + y)$属于到$A$，因此

这表明 $f \left( \frac{1}{2} x \right)$ 和 $f \left( \frac{1}{2} y \right)$ 通勤；因此$f(x) = (f \left( \frac{1}{2} x \right))^2$和$f(y) = (f \left( \frac{1}{2} y \right))^2$也是如此，这证明了断言。

令$a_1, a_2, \ldots, a_n$为$n$非零向量包含在$A$中并与平行四面体的基向量成比例，并且对于每个指标$i$令$D_i$为通过$o$的线并且$a_i$，即点$ta_i$的集合，因为$t$贯穿$\mathbf{R}$。令$A_i$为所有$t \in \mathbf{R}$中的集合，使得$ta_i \in A$；那么$A_i$是$\mathbf{R}$包含于$[0, 1]$的区间，函数

在 $A_i$ 上定义且连续，并且满足关系

每当$t, t'$和$t + t'$都是属于到$A_i$。到章V, § 1, no. 4的命题6，存在$\mathbf{R}$到$G$的连续同态$\bar{f}_i$，其中扩展$f_i$。由于$\mathbf{R}^n$是子群$D_i$的直和，我们可以根据规则将$\mathbf{R}^n$的定义同态$\bar{f}$化为阿贝尔的群$G_1$ $\bar{f}(x) = \prod_{i=1}^n \bar{f}_i(t_i)$，其中$x = \sum_{i=1}^n t_i a_i$； $\bar{f}$是$f$的扩张，因为如果$x \in A$，$x$的所有分量$x_i$在$D_i$线上，也从属于到$A$，由于选择 $a_i$；此外，$\bar{f}$在$\mathbf{R}^n$上是连续的，因为它在$D_i$的每条线上都是连续的，并且$x_i$是$x$的线性函数（因此是连续的）。

对于点$x, y$中的每个对，使得$x \in V, y \in V$和$x + y \in V$。 Then there exists a unique continuous homomorphism of $\mathbf{R}^n$ into $G$ which agrees with $f$ at all points of a neighbourhood $W$ of $o$.

取$W$为一个开箱，中心$o$包含在$V$中，应用命题2到$W$。

稍后我们将看到，$\mathbf{R}^n$扩展的性质到拓扑群的更大类，即“单连通”群。

令$\overline{f}$为$\mathbf{R}^n$到$G$的连续同态，与$f$在$o$的邻域的点一致； $\overline{f}(\mathbf{R}^n)$包含于，通过假设，单位元素的邻域到$G$，因此（章III, § 2, no. 1，命题4的推论）是$G$的开子群；此外，$\overline{f}$是$\mathbf{R}^n$到$\overline{f}(\mathbf{R}^n)$的严格态射，通过章III, § 2, no. 8，命题24。

适当选择$\mathbf{R}^n$的局部同构$f$和$G$扩展到$\mathbf{R}^n$的严格态射到$G$的开放子群（命题2，推论2），因此到$G$ 本身，因为 $G$ 已连接。由此可见，$G$与$\mathbf{R}^n$的商群$\mathbf{R}^n/H$同构：$H$是*离散*，否则将存在任意接近$o$的$H$的点$x \neq o$，并且使得$f(x) = f(o)$，与假设相反，$f$是本地同构。因此，定理是推论 / 定理 1 / § 1, no. 1。

令$f$是$\mathbf{R}^m$到$\mathbf{T}^n$的连续同态。我们将证明，$\mathbf{R}^m$中存在线性映射$u$进入$\mathbf{R}^n$，使得同态$x \to f(x)$和$x \to \varphi(u(x))$重合在点的*邻域*$o$中$\mathbf{R}^m$；然后，命题将从no. 2的推论1到命题2。现在令$V$为$\mathbf{R}^n$中$o$的邻域，使得限制为$V$的$\varphi$是$\mathbf{R}^n$与$\mathbf{T}^n$的局部同构，并令$\psi$为$\varphi$，定义于$\varphi(V)$。由于$f$是连续的，$V' = \overline{f}^{-1}(\varphi(V))$是$\mathbf{R}^m$中$o$的邻域； 映射

限制为$V'$，是$V'$到$\mathbf{R}^n$的连续映射，使得$\psi(f(x+y)) = \psi(f(x)) + \psi(f(y))$对于$\mathbf{R}^m$中点$x, y$的每个对，使得$x \in V', y \in V'$和$x + y \in V'$；因此（no. 2，推论1到命题2）这个映射重合具有确定的连续$\mathbf{R}^m$的同态$u$到$\mathbf{R}^n$的点邻域 $\mathbf{R}^m$ 中 o 的$W$。将命题 1 (no. 1) $u$ 等于 $\mathbf{R}^m$ 中的线性映射变为 $\mathbf{R}^n$；因此，对于所有$x \in W$，我们有$f(x) = \varphi(u(x))$，从而完成证明。

等价地（§ 1, no. 1），如果$u(e_i) = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j$，则$a_{ij}$必须是整数，使得$\det(a_{ij}) = \pm 1$。特别是对于$n = 1$：