习题 21, § 6

令 $G$ 为实李群，$H$ 为普通一维积分子群。 (a) 如果 $H$ 不闭，$\overline{H}$ 是紧致的（谱理论，章 II, § 2，引理 1），因此与 $T^n$ 同构的，因此如果 $G$ 是连通的，则位于 $G$ 的中心（使用一般拓扑， 章VII, § 2、命题5)。 (b) 假设 $H$ 是闭集。令$a$为$G$的元素和$G$的元素的$C(a)$集合，与$a$可交换。假设$H \not\subset C(a)$。 如果$H$与$\mathbf{R}$同构的，则$C(a) \cap H = \{e\}$。 （考虑$H$的自同构$\alpha : h \mapsto a^{-1}ha$。）如果$H$与$\mathbf{T}$同构的，$C(a) \cap H$有两个元素。 （再次考虑$\alpha$并使用常规拓扑、章VII, § 2、命题6。）如果$G$已连接（使用（a）），则第二种情况是不可能的。 (c) 根据(b)的假设，进一步假设$G/H$是可交换的。

然后$G = C(a).H.$（观察$H$到$H$的映射$h \mapsto h^{-1}\alpha(h)$是满射。）