Exercice 21, § 6

Soient G un groupe de Lie réel, H un sous-groupe intégral de dimension 1 distingué. a) Si H est non fermé, $\overline{H}$ est compact (TS, chap. II, § 2, lemme 1), donc isomorphe à $\mathbf{T}^n$, donc central dans G si G est connexe (utiliser TG, chap. VII, § 2, prop. 5). b) On suppose H fermé. Soient a un élément de G, C(a) l’ensemble des éléments de G permutables à a. On suppose H $\notin$ C(a). Si H est isomorphe à $\mathbf{R}$, on a $C(a) \cap H = \{e\}$. (Considérer l’automorphisme $\alpha : h \mapsto a^{-1}ha$ de H.) Si H est isomorphe à $\mathbf{T}$, C(a) $\cap$ H a deux éléments. (Considérer encore $\alpha$, et utiliser TG, chap. VII, § 2, prop. 6.) Cette deuxième circonstance est impossible si G est connexe (utiliser a)). c) On se place dans les hypothèses de b), et on suppose de plus G/H commutatif. Alors $G = C(a) . H$. (Observer que l’application $h \mapsto h^{-1}\alpha(h)$ de H dans H est surjective.)