Bài tập 21, § 6

Cho $G$ là một nhóm Lie thực và $H$ là một nhóm con nguyên 1 chiều chuẩn tắc. (a) Nếu $H$ không đóng, $\overline{H}$ là compact (Lý thuyết phổ, Chương II, § 2, Bổ đề 1), do đó đẳng cấu với $T^n$ và do đó là trung tâm trong $G$ nếu $G$ liên thông (dùng Tôpô tổng quát, Chương VII, § 2, Mệnh đề 5). (b) Giả sử rằng $H$ đóng. Cho $a$ là một phần tử của $G$ và $C(a)$ là tập hợp các phần tử của $G$ giao hoán với $a$. Giả sử rằng $H \not\subset C(a)$. Nếu $H$ đẳng cấu với $\mathbf{R}$, thì $C(a) \cap H = \{e\}$. (Xét tự đẳng cấu $\alpha : h \mapsto a^{-1}ha$ của $H$.) Nếu $H$ đẳng cấu với $\mathbf{T}$, $C(a) \cap H$ có hai phần tử. (Xét lại $\alpha$ và dùng Tôpô tổng quát, Chương VII, § 2, Mệnh đề 6.) Tình huống thứ hai là không thể nếu $G$ liên thông (dùng (a)). (c) Với các giả thiết của (b), giả sử thêm rằng $G/H$ là giao hoán.

Khi đó $G = C(a).H.$ (Nhận xét rằng ánh xạ $h \mapsto h^{-1}\alpha(h)$ của $H$ vào $H$ là toàn ánh.)