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3. 无限和群 R n \mathbf{R}^n R n
1. R n \mathbf{R}^n R n
由于R n \mathbf{R}^n R n t t t R n \mathbf{R}^n R n ( x t ) (x_t) ( x t ) X t ≠ 0 X_t \neq 0 X t = 0 R n \mathbf{R}^n R n R \mathbf{R} R
family* ( x i ) i ∈ I (x_i)_{i \in I} ( x i ) i ∈ I of 点 x i = ( x i , k ) 1 ≤ k ≤ n x_i = (x_{i,k})_{1 \leq k \leq n} x i = ( x i , k ) 1 ≤ k ≤ n of R n \mathbf{R}^n R n 可求和当且仅当每个 n n n families ( x i , k ) i ∈ I (x_{i,k})_{i \in I} ( x i , k ) i ∈ I of 实数可在 R \mathbf{R} R
引用了 1 · 被以下引用 2 引用了 命题 4, III § 5
被以下引用 命题 3 , 定理 1
这是从章 III, § 5, no. 4、命题 4 得出的。
命题 1 的条件可以变换如下：
R n \mathbf{R}^n R n ( x i ) i ∈ I (x_i)_{i \in I} ( x i ) i ∈ I x i x_i x i ( ∣ ∣ x i ∣ ∣ ) (||x_i||) ( ∣∣ x i ∣∣ ) R \mathbf{R} R
引用了 3 · 被以下引用 2 引用了 定理 3, IV § 7 , 命题 1 , 定理 2（比较的原理）, IV § 7
被以下引用 推论 , 命题 2
对于实数 (章 IV, § 7, no. 2, 定理 3) 族的可求性，这可以毫无困难地从命题 1, 条件得出，不等式
sup 1 ≤ k ≤ n ∣ x i , k ∣ ≤ ∣ ∣ x i ∣ ∣ ≤ ∑ i = 1 n ∣ x i , i ∣ ,
\sup_{1 \leq k \leq n} |x_{i,k}| \leq ||x_i|| \leq \sum_{i=1}^n |x_{i,i}|,
1 ≤ k ≤ n sup ∣ x i , k ∣ ≤ ∣∣ x i ∣∣ ≤ i = 1 ∑ n ∣ x i , i ∣ , 以及比较原理 (章 IV, § 7, no. 1, 定理 2)。
我们还可以采取一些不同的方式，首先建立以下命题：
∑ i ∈ I ∣ ∣ x i ∣ ∣ ≤ 2 n ⋅ sup J ⊂ I ∣ ∑ i ∈ J x i ∣ .
\sum_{i \in I} ||x_i|| \leq 2n \cdot \sup_{J \subset I} \left| \sum_{i \in J} x_i \right|.
i ∈ I ∑ ∣∣ x i ∣∣ ≤ 2 n ⋅ J ⊂ I sup i ∈ J ∑ x i . 因为如果x i = ( x i j ) 1 ≤ j ≤ n x_i = (x_{ij})_{1 \leq j \leq n} x i = ( x ij ) 1 ≤ j ≤ n ∣ ∣ x i ∣ ∣ ≤ ∑ j = 1 n ∣ x i j ∣ ||x_i|| \leq \sum_{j=1}^n |x_{ij}| ∣∣ x i ∣∣ ≤ ∑ j = 1 n ∣ x ij ∣
∑ i ∈ I ∣ ∣ x i ∣ ∣ ≤ ∑ j = 1 n ( ∑ i ∈ I ∣ x i j ∣ ) .
\sum_{i \in I} ||x_i|| \leq \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i \in I} |x_{ij}| \right).
i ∈ I ∑ ∣∣ x i ∣∣ ≤ j = 1 ∑ n ( i ∈ I ∑ ∣ x ij ∣ ) . 现在∑ i ∈ I ∣ x i j ∣ = ∑ i ∈ I x i j + + ∑ i ∈ I x i j − \sum_{i \in I} |x_{ij}| = \sum_{i \in I} x_{ij}^+ + \sum_{i \in I} x_{ij}^- ∑ i ∈ I ∣ x ij ∣ = ∑ i ∈ I x ij + + ∑ i ∈ I x ij − I I I J J J
− ∑ i ∈ I x i j − ≤ − ∑ i ∈ J x i j − ≤ ∑ i ∈ J x i j + ≤ ∑ i ∈ I x i j +
-\sum_{i \in I} x_{ij}^- \leq -\sum_{i \in J} x_{ij}^- \leq \sum_{i \in J} x_{ij}^+ \leq \sum_{i \in I} x_{ij}^+
− i ∈ I ∑ x ij − ≤ − i ∈ J ∑ x ij − ≤ i ∈ J ∑ x ij + ≤ i ∈ I ∑ x ij + 由此可见
∑ i ∈ I ∣ x i j ∣ ≤ 2 ⋅ sup J ⊂ I ∣ ∑ i ∈ J x i j ∣ .
\sum_{i \in I} |x_{ij}| \leq 2 \cdot \sup_{J \subset I} \left| \sum_{i \in J} x_{ij} \right|.
i ∈ I ∑ ∣ x ij ∣ ≤ 2 ⋅ J ⊂ I sup i ∈ J ∑ x ij . 但是∣ ∑ i ∈ J x i j ∣ ≤ ∣ ∑ i ∈ J x i j ∣ \left| \sum_{i \in J} x_{ij} \right| \leq \left| \sum_{i \in J} x_{ij} \right| ∑ i ∈ J x ij ≤ ∑ i ∈ J x ij
现在，定理 1 等价于以下命题（因为R n \mathbf{R}^n R n ( x i ) (x_i) ( x i ) ( ∣ ∣ x i ∣ ∣ ) (||x_i||) ( ∣∣ x i ∣∣ )
此外，我们还有不等式
∣ ∑ i x i ∣ ≤ ∑ i ∣ ∣ x i ∣ ∣
\left| \sum_i x_i \right| \leq \sum_i ||x_i||
i ∑ x i ≤ i ∑ ∣∣ x i ∣∣ 它来自于有限部分和的类似不等式的经过到极限。
族* ( x i ) (x_i) ( x i ) 的点的 R n \mathbf{R}^n R n 可求和当且仅当族的有限部分和的集合有界于 R n \mathbf{R}^n R n
引用了 1 引用了 定理 1
由定理 1和三角形不等式，这个条件是必要的；由不等式 (1) 和定理 1 就足够了。
Let* ( x λ ) λ ∈ L (x_\lambda)_{\lambda \in L} ( x λ ) λ ∈ L be a summable family of points of R m \mathbf{R}^m R m ( y μ ) μ ∈ M (y_\mu)_{\mu \in M} ( y μ ) μ ∈ M a summable family of points of R n \mathbf{R}^n R n and let f f f be a bilinear mapping of R m × R n \mathbf{R}^m \times \mathbf{R}^n R m × R n into R p \mathbf{R}^p R p 然后家庭 ( f ( x λ , y μ ) ) ( λ , μ ) ∈ L × M (f(x_\lambda, y_\mu))_{(\lambda, \mu) \in L \times M} ( f ( x λ , y μ ) ) ( λ , μ ) ∈ L × M
引用了 2 引用了 命题 1 , 命题 1, IV § 7
∑ ( λ , μ ) ∈ L × M f ( x λ , y μ ) = f ( ∑ λ ∈ μ x λ , ∑ μ ∈ M y μ ) .
\sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} f(x_\lambda, y_\mu) = f \left( \sum_{\lambda \in \mu} x_\lambda, \sum_{\mu \in M} y_\mu \right).
( λ , μ ) ∈ L × M ∑ f ( x λ , y μ ) = f λ ∈ μ ∑ x λ , μ ∈ M ∑ y μ . 为了证明族( f ( x λ , y μ ) ) (f(x_\lambda, y_\mu)) ( f ( x λ , y μ )) R n \mathbf{R}^n R n f ( x λ , y μ ) f(x_\lambda, y_\mu) f ( x λ , y μ ) p p p f f f f f f
f ( x , y ) = ∑ i , j a i j x i y j ,
f(x, y) = \sum_{i, j} a_{ij} x_i y_j,
f ( x , y ) = i , j ∑ a ij x i y j , 因此我们回到案例f ( x , y ) = x i y j f(x, y) = x_i y_j f ( x , y ) = x i y j
通过专门化函数 f f f
如果* ( a λ ) λ ∈ L (a_\lambda)_{\lambda \in L} ( a λ ) λ ∈ L 是实数的可求和族，并且如果 ( x μ ) μ ∈ M (x_\mu)_{\mu \in M} ( x μ ) μ ∈ M 是 R n \mathbf{R}^n R n ( a λ x μ ) ( λ , μ ) ∈ L × M (a_\lambda x_\mu)_{(\lambda, \mu) \in L \times M} ( a λ x μ ) ( λ , μ ) ∈ L × M
∑ ( λ , μ ) ∈ L × M a λ x μ = ( ∑ λ ∈ L a λ ) ( ∑ μ ∈ M x μ ) .
\sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} a_\lambda x_\mu = \left( \sum_{\lambda \in L} a_\lambda \right) \left( \sum_{\mu \in M} x_\mu \right).
( λ , μ ) ∈ L × M ∑ a λ x μ = ( λ ∈ L ∑ a λ ) μ ∈ M ∑ x μ .
如果* ( x λ ) λ ∈ L (x_\lambda)_{\lambda \in L} ( x λ ) λ ∈ L 和 ( y μ ) μ ∈ M (y_\mu)_{\mu \in M} ( y μ ) μ ∈ M 是 R n \mathbf{R}^n R n ( x λ ∣ y μ ) (x_\lambda | y_\mu) ( x λ ∣ y μ ) (cf. 章 VI, § 2, no. 2) 可求和于 R \mathbf{R} R
引用了 1 引用了 VI § 2. 欧氏距离；球体和球体
∑ ( λ , μ ) ∈ L × M ( x λ ∣ y μ ) = ( ∑ λ ∈ L x λ | ∑ μ ∈ M y μ ) .
\sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (x_\lambda | y_\mu) = \left( \sum_{\lambda \in L} x_\lambda \middle| \sum_{\mu \in M} y_\mu \right).
( λ , μ ) ∈ L × M ∑ ( x λ ∣ y μ ) = λ ∈ L ∑ x λ μ ∈ M ∑ y μ .
2. 级数在 R n \mathbf{R}^n R n
当且仅当每个n n n ( x m i ) m ∈ N (x_{mi})_{m \in \mathbf{N}} ( x mi ) m ∈ N R \mathbf{R} R x m = ( x m i ) 1 ≤ i ≤ n x_m = (x_{mi})_{1 \leq i \leq n} x m = ( x mi ) 1 ≤ i ≤ n R n \mathbf{R}^n R n
** R n \mathbf{R}^n R n 如果其项的欧氏范数级数收敛，则称其绝对收敛。
这是上面的章III, § 5, no. 7和定理1的命题9中的推论和定理1。
章 IV, § 7 中给出的例表明R n \mathbf{R}^n R n
习题
参见习题为 § 3 。