Bourbaki

习题 1, § 3

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一般拓扑, VIII

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

对于复数中的每个有限序列 s=(zk)k∈Is = (z_k)_{k \in I}，将

∑k∈I∣zk∣=ρs⋅sup⁡J⊂I∣∑k∈Jzk∣ \sum_{k \in I} |z_k| = \rho_s \cdot \sup_{J \subset I} \left| \sum_{k \in J} z_k \right|
（cf.章VII, § 3, no. 1、命题2）。

a) \* 如果zk=rk(cos⁡φk+isin⁡φk)z_k = r_k (\cos \varphi_k + i \sin \varphi_k)，其中rk=∣zk∣r_k = |z_k|和φk\varphi_k是zkz_k振幅的主要弧度度量，则

f(φ)=∑k∈Irk(cos⁡(φ−φk))+ f(\varphi) = \sum_{k \in I} r_k (\cos (\varphi - \varphi_k))^+
每φ∈[0,2π[\varphi \in [0, 2\pi[。证明区间[0,2π[[0, 2\pi[中f(φ)f(\varphi)的最小上界等于sup⁡J⊂I∣∑k∈Jzk∣\sup_{J \subset I} \left| \sum_{k \in J} z_k \right|。通过考虑积分
∫02πf(φ) dφ, \int_0^{2\pi} f(\varphi) \, d\varphi,
推断对于所有有限序列ss，我们有ρs≤π\rho_s \leq \pi，并且不存在有限序列(zk)=s(z_k) = s使得ρs=π\rho_s = \pi。

b) 表明，对于每个ε>0\varepsilon > 0，都存在有限序列(zk)=s(z_k) = s，使得ρs>π−ε\rho_s > \pi - \varepsilon（将zkz_k视为足够高次数的二项式方程的根）。 \*

解答

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