Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

附录

无限乘积标准代数

1. 范数代数中可乘序列

令 AA 为非离散值域 KK 上的规范代数 (章 IX, § 3, no. 7, 定义 9)；我们用元素x∈Ax \in A的∣∣x∣∣||x||范数来表示，并且我们假设这个范数满足不等式∣∣xy∣∣≤∣∣x∣∣⋅∣∣y∣∣||xy|| \leq ||x|| \cdot ||y||；我们还假设AA有单位元素ee。

设(xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbf{N}}是AA的点的无限序列。 N\mathbf{N}的每有限子集JJ，按N\mathbf{N}、AA的点的定义序列(xn)n∈J(x_n)_{n \in J}的顺序线性排序，我们定义乘积

pJ=∏n∈Jxn p_J = \prod_{n \in J} x_n

其中序列；这个乘积被称为序列(xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbf{N}}的有限部分乘积，相应的到N\mathbf{N}的有限子集JJ（回想一下，如果J=∅J = \varnothing我们放入∏n∈∅xn=e\prod_{n \in \varnothing} x_n = e）。

定义 1 0CA3

序列* (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbf{N}} 据说在范数代数 AA 如果映射 J→pJJ \to p_J 相对于集合的截面的过滤器有极限 F(N)\mathfrak{F}(\mathbf{N}) 共有限子集共 N\mathbf{N}，*按关系* ⊂\subset 排序； 这个极限称为序列(xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbf{N}}的乘积，*并记为*∏n∈Nxn\prod_{n \in \mathbf{N}} x_n*（或简称为*∏nxn\prod_n x_n）； 这个乘积的xnx_n*被称为因子。

被以下引用 3

被以下引用 习题 1, 附录 0, 注 1, 注 2

定义 1 等价于： 序列 (xn)(x_n) 可乘，其乘积为 pp 如果对于每个 ε>0\varepsilon > 0 存在有限子集 J0J_0 of N\mathbf{N} 这样对于每一个有限子集 J⊃J0J \supset J_0 of N\mathbf{N}，*我们有* ∣∣pJ−p∣∣≤ε||p_J - p|| \leq \varepsilon。

注 1 0CA4

当AA为交换代数时，定义1与章III, § 5, no. 1、注3相同；但当 AA 不可交换时，指标集合 N\mathbf{N} 的阶结构本质上参与定义 1。如果 σ\sigma 是任意置换 N\mathbf{N}，我们不能一般断言，如果序列(x_n)是可乘的，则序列(xσ(n))(x_{\sigma(n)})是可乘的；如果两个序列都是可乘的，那么它们的乘积通常会不同。

引用了 2

引用了 注 3, III § 5, 定义 1

注 2 0CA5

定义 1 可以立即推广到族 (x_n)_{n \in I} 的情况，其指标集合 I 是 \mathbf{Z} 的子集（由阶线性排序） \mathbf{Z})。我们将扩展留给读者，在这种情况下，结果如下（cf.习题1和2）。

引用了 1

引用了 定义 1

2. 多重性判据

从现在开始，我们假设规范的代数 A 是完备的。

定理 1 0CA6

令 (x_n)_{n \in \mathbf{N}} 为完全范数代数 A 中点的序列。 a) 如果 (x_n) 是可乘的，且其乘积是 A 的单位，则对于每个ε>0\varepsilon > 0，存在 \mathbf{N} 的有限子集 J_0，这样，对于 \mathbf{N} 的每个不满足 J_0 的有限子集 L，我们有∥e−pL∥≤ε\|e - p_L\| \leq \varepsilon。 b) 相反，如果序列 (x_n) 满足条件，则它是可乘的。此外，如果每个x_n是单位，那么∏n∈Nxn\prod_{n \in \mathbf{N}} x_n就是单位。

引用了 1 · 被以下引用 5

引用了 命题 13, IX § 3

被以下引用 引理 2, 注, 命题 2, 推论 2, 定理 2

a) 令p为可乘数序列(x_n)的乘积，并假设p在A中为单位；那么 (章 IX, § 3, no. 7, 命题 13) 存在 α>0\alpha > 0 和 a>0a > 0，这样，对于我们有的所有 y∈Ay \in A

∥y−p∥≤α, \|y - p\| \leq \alpha,
y 为单位和 ∥y−1∥≤a\|y^{-1}\| \leq a。到假设，对于每个ε\varepsilon使得0<ε<α0 < \varepsilon < \alpha，有\mathbf{N}的有限子集H_0，这样，对于\mathbf{N}包含H_0的每个有限子集H，我们有∥pH−p∥≤ε\|p_H - p\| \leq \varepsilon。令 J0=[0,m]J_0 = [0, m] 为 \mathbf{N} 的区间，其中包含 H_0；对于\mathbf{N}中每一个不满足J_0的有限子集L，整数属于到L都大于属于到H_0；因而，如果H=H0∪LH = H_0 \cup L，我们有pH=pH0pLp_H = p_{H_0} p_L。现在，由于∥pH0−p∥≤ε≤α\|p_{H_0} - p\| \leq \varepsilon \leq \alpha，pH0p_{H_0}是单位，并且
∥e−pH0−1p∥≤ε∥pH0−1p∥≤aε; \|e - p_{H_0}^{-1} p\| \leq \varepsilon \|p_{H_0}^{-1} p\| \leq a \varepsilon;
从∥pH0pL−p∥≤ε\|p_{H_0} p_L - p\| \leq \varepsilon开始，我们推断
∥pL−pH0−1p∥≤ε∥pH0−1∥≤aε, \|p_L - p_{H_0}^{-1} p\| \leq \varepsilon \|p_{H_0}^{-1}\| \leq a \varepsilon,
最后∥e−pL∥≤2aε\|e - p_L\| \leq 2a \varepsilon。

b) 假设对于每个ε>0\varepsilon > 0，\mathbf{N} 都存在有限子集 J_0，这样，对于\mathbf{N} 的每个不满足J_0 的有限子集 L，我们有∥e−pL∥≤ε\|e - p_L\| \leq \varepsilon。令 H0=[0,p]H_0 = [0, p] 为 \mathbf{N} 的区间，其中包含 J_0；那么\mathbf{N}中的每一个有限子集 H，其中包含 H_0都可以写成形式H0∪LH_0 \cup L，其中L中的整数都大于H_0中的整数；因此我们有pH=pH0pLp_H = p_{H_0} p_L，并且由于L不满足J0J_0、∥pH−pH0∥≤ε∥pH0∥\|p_H - p_{H_0}\| \leq \varepsilon \|p_{H_0}\|，因此不满足∥pH∥=(1+ε)∥pH0∥\|p_H\| = (1 + \varepsilon)\|p_{H_0}\|。若pH0=0p_{H_0} = 0、序列(xn)(x_n)明显可乘且乘积为0；除了这个简单的情况，还有一个区间 H1=[0,q]H_1 = [0, q] 包含 H0H_0，这样，对于 N\mathbf{N} 的每一个有限子集 LL 不满足 H1H_1，我们就有 ∥e−pL∥≤ε(∥pH0∥)−1\|e - p_L\| \leq \varepsilon (\|p_{H_0}\|)^{-1}。如上所述，对于每个有限子集 H⊃H1H \supset H_1，

∥pH−pH1∥≤(∥pH0∥)−1∥pH1∥ε≤ε(1+ε). \|p_H - p_{H_1}\| \leq (\|p_{H_0}\|)^{-1}\|p_{H_1}\|\varepsilon \leq \varepsilon (1 + \varepsilon).

因而，柯西准则表明，相对于有向集合 F(N)\mathfrak{F}(\mathbf{N})，J→pJJ \to p_J 在 AA 中具有极限。

如果所有的xnx_n都是单位，那么所有的有限部分积pJp_J也是；因此对于每个有限子集 HH 包含 H0H_0 我们有

∥e−pH0−1pH∥≤ε, \|e - p_{H_0}^{-1}p_H\| \leq \varepsilon,

这表明，在AA的单位的乘法群GG中，F(N)\mathfrak{F}(\mathbf{N})的截面滤波器的映射J→pJJ \to p_J下的像相对于左均匀性是柯西滤波器基 GG；但由于GG是*完整的*（章IX, § 3, no. 7，命题13），极限映射J→pJJ \to p_J属于到GG。

注 0CA7

如果(xn)(x_n)是可乘的且乘积不是单位，定理1的条件不一定满足：对于例，如果所有xnx_n都等于相同的元素xx，其中∥x∥<1\|x\| < 1， 序列(xn)(x_n)是可乘的，其乘积为0，对于N\mathbf{N}的每个非空有限子集HH，我们有∥pH∥≤∥x∥<1≤∥e∥\|p_H\| \leq \|x\| < 1 \leq \|e\|。

引用了 1

引用了 定理 1

推出 1 0CA8

如果*(xn)(x_n)*是一个可乘的序列，其乘积是*AA的单位，*则*lim⁡n→∞xn=e\lim_{n \to \infty} x_n = e。

推论 2 0CA9

如果* (xn)(x_n) 是一个可乘的序列，其乘积是 AA的单位，*则每个子序列* (xnk)k∈N(x_{n_k})_{k \in \mathbf{N}} of (xn)(x_n) [(nk)(n_k)是严格递增的序列 of 整数] 可乘。

引用了 1

引用了 定理 1

这直接遵循定理 1 的标准。

定理 2 0CAA

让*AA*成为一个完全规范的代数*。 如果(un)(u_n)*是*AA的元素的绝对收敛级数，*则序列*(e+un)(e + u_n)*可乘于*AA； 如果所有元素 e+une + u_n 都是单位在 AA，*那么也是* ∏n∈N(e+un)\prod_{n \in \mathbf{N}} (e + u_n)。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 定理 1, 定理 4, IV § 7

被以下引用 推论

让我们应用定理1的标准。对于N\mathbf{N}的每个有限子集LL，我们有pL−e=∏n∈L(e+un)−e=∑M(∏n∈Mun)p_L - e = \prod_{n \in L} (e + u_n) - e = \sum_M \left( \prod_{n \in M} u_n \right)，其中MM贯穿LL的所有非空子集的集合（通过诱导的线性排序）订购）。从∏n∈Mun≤∏n∈M∣un∣\prod_{n \in M} u_n \leq \prod_{n \in M} |u_n|开始，我们可以写

∣∣p1−e∣∣=∑M(∏n∈Mun)⋅∏i∈I(1+∣ui∣)−1. ||p_1 - e|| = \sum_M (\prod_{n \in M} u_n) \cdot \prod_{i \in I} (1 + |u_i|) - 1.

现在，由于级数（其通项为∣un∣|u_n|）收敛于假设，序列1−∣un∣1 - |u_n|可乘于R+∗\mathbf{R}_+^*（章IV, § 7, no. 4，定理4）。因此，对于每个ε>0\varepsilon > 0，都存在N\mathbf{N}的有限子集J0J_0，这样，对于不满足J0J_0的N\mathbf{N}的每个有限子集LL，我们有∣∏n∈L(1+∣∣un∣∣)−1∣≤ε\left| \prod_{n \in L} (1 + ||u_n||) - 1 \right| \leq \varepsilon；因此结果。

推论 0CAB

如果级数的通项为unu_n是绝对收敛的，并且如果在AA中元素e−une - u_n都不为零因子，则乘积∏n∈N(e+un)\prod_{n \in \mathbf{N}} (e + u_n)在零因子中不是零因子 AA.

引用了 3

引用了 推论, IX § 3, 习题 6, 附录 0, 定理 2

只有整数 nn 的有限数使得 ∣un∣>1|u_n| > 1。令J=[a,m]J = [a, m]为N\mathbf{N}包含所有这些整数的区间。 序列(e+un)(e + u_n)的乘积是pJp_J和元素∏n∉J(e−un)\prod_{n \notin J} (e - u_n)的乘积，所有因子都是单位（章IX, § 3, no. 7， 命题 12) 的推论，因此本身就是单位；由于pJp_J是有限非零除数数的乘积，因此它不是零因子，因此∏n∈N(e+un)\prod_{n \in \mathbf{N}} (e + u_n)不是零因子。

定理 2 给出的足够的条件乘法性一般来说是不必要的 (cf. 习题 6)。然而，在重要情况下，AA是有限秩的代数超过域R\mathbf{R}（即AA是有限维的，向量空间超过R\mathbf{R}）；特别是如果 AA 是四元数 H\mathbf{H} 的除法环，或矩阵代数 Mn(R)\mathbf{M}_n(\mathbf{R})：

命题 1 0CAC

令AA为有限秩超过R\mathbf{R}的标准化代数。如果(e+un)(e + u_n)是AA中的可乘序列，其乘积是AA的单位，则级数其一般项是unu_n是绝对收敛的。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 2, VII § 3

被以下引用 命题 2, VIII § 3

从章VII, § 3, no. 1，命题2，存在数c>0c > 0，这样，对于AA的点的每个有限族(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}，我们有

∑i∈I∥xi∥≤csup⁡J⊂I∣∑i∈Jxi∣. \sum_{i \in I} \|x_i\| \leq c \sup_{J \subset I} \left| \sum_{i \in J} x_i \right|.

令(ai)i∈N(a_i)_{i \in \mathbf{N}}为AA的元素的任意序列。对于 N\mathbf{N} 中的每个有限子集 II，将

pI=∏i∈I(e+ai),sI=∑i∈Iai,σI=∑i∈I∥ai∥. p_I = \prod_{i \in I} (e + a_i), \quad s_I = \sum_{i \in I} a_i, \quad \sigma_I = \sum_{i \in I} \|a_i\|.

引理 1 0CAD

对于N\mathbf{N}中的每个有限子集II，令φ(I)=sup⁡J⊂I∣∣pJ−e∣∣\varphi(I) = \sup_{J \subset I} ||p_J - e||。 Then for each 子集 JJ of II we have

∣∣pJ−e−sJ∣∣≤φ(I)σJ. ||p_J - e - s_J|| \leq \varphi(I)\sigma_J.

如果JJ为空，引理是明显的；我们将通过JJ中元素的数上的归纳来证明。设J=K∪{j}J = K \cup \{j\}，其中{j}\{j\}严格大于每个i∈Ki \in K。然后 pJ=pK(e+aj)p_J = p_K(e + a_j) 和

sJ=sK+aj, s_J = s_K + a_j,

以便

pJ−e−sJ=pK−e−sK+(pK−e)aj, p_J - e - s_J = p_K - e - s_K + (p_K - e)a_j,

通过 φ(I)\varphi(I) 的归纳假设和定义，我们有

∣∣pJ−e−sJ∣∣≤φ(I)σK+φ(I)∣∣aj∣∣=φ(I)σJ, ||p_J - e - s_J|| \leq \varphi(I)\sigma_K + \varphi(I)||a_j|| = \varphi(I)\sigma_J,

这就证明了引理。

引理 2 0CAE

如果II是N\mathbf{N}的有限子集使得φ(I)<1/c\varphi(I) < 1/c，那么

σI≤cφ(I)/(1−cφ(I)). \sigma_I \leq c\varphi(I)/(1 - c\varphi(I)).
引用了 2

引用了 定理 1, 定理 1, IV § 7

因为从σJ≤σI\sigma_J \leq \sigma_I开始，对于II的每个子集JJ，我们有（2）

∣∣sJ∣∣≤φ(I)σI+∣∣pJ−e∣∣≤(1+σI)φ(I); ||s_J|| \leq \varphi(I)\sigma_I + ||p_J - e|| \leq (1 + \sigma_I)\varphi(I);

并且由于 σI≤c⋅sup⁡J⊂I∣∣sJ∣∣\sigma_I \leq c \cdot \sup_{J \subset I} ||s_J||，由 (1) 可知

σI≤cφ(I)(1+σI), \sigma_I \leq c\varphi(I)(1 + \sigma_I),

这导致了结果。

现在令(e+un)(e + u_n)为AA中的可乘序列，其乘积为单位；通过定理 1，存在N\mathbf{N}的有限子集J0J_0，这样，对于N\mathbf{N}的每个有限子集HH不满足J0J_0，我们有

∣∏i∈H(e+ui)−e∣≤1/2c. \left| \prod_{i \in H} (e + u_i) - e \right| \leq 1/2c.

By Lemma 2, it follows that ∑i∈H∣∣ui∣∣−1\sum_{i \in H} ||u_i|| - 1 for every finite subset HH of N\mathbf{N} which does not meet J0J_0, and hence (Chapter IV, § 7, no. 1, Theorem 1) the family (∣∣un∣∣)(||u_n||) is summable in R\mathbf{R}.

3. 无限乘积

对于规范化的代数AA中点的每个序列(xn)(x_n)，让我们制作*部分积*pn=∏k=0nxkp_n = \prod_{k=0}^n x_k的对应序列；则序列(xn)(x_n)和(pn)(p_n)的*右*称为无穷乘积，其通因子为xnx_n。如果序列 (pn)(p_n) 收敛于 AA，则无限乘积与一般因子 xnx_n 收敛；这个序列的极限被称为序列(xn)(x_n)的乘积，并用∏n=0∞xn\prod_{n=0}^\infty x_n表示。

命题 2 0CAF

令* (xn)(x_n) 成为完整规范的代数 AA中点的序列。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 定理 1

被以下引用 推论 2

a) 如果无限乘积其一般因子是 xnx_n 收敛，并且如果 ∏n=0∞xn\prod_{n=0}^\infty x_n 是单位在 AA，*则对于每个* ε>0\varepsilon > 0 存在整数 n0n_0 这样

∥∏k=mnxk−e∥≤ε \left\| \prod_{k=m}^n x_k - e \right\| \leq \varepsilon
每当n0≤m≤nn_0 \leq m \leq n。

b) 反之，如果序列 (xn)(x_n) 满足这个条件，则无限乘积与一般因子 xnx_n 收敛；如果AA中的每个*xnx_n*是单位，*那么*∏n=0∞xn\prod_{n=0}^\infty x_n*是单位*。

这个命题的证明一步步跟随着定理1的证明，留给读者（定理1的证明中的NN的有限子集LL要间隔替换）。

推论 1 0CAG

如果无限乘积与一般因子* xnx_n 收敛，并且如果 ∏n=0∞xn\prod_{n=0}^\infty x_n 是单位，*则* lim⁡n→∞xn=e\lim_{n \to \infty} x_n = e。

推论 2 0CAH

如果无穷大乘积与一般因子* xnx_n 收敛，并且如果 ∏n=0∞xn\prod_{n=0}^\infty x_n 是单位，*则无穷大乘积与一般因子*

yn=xn+h(n≥0) y_n = x_{n+h} \quad (n \geq 0)
收敛。

引用了 1

引用了 命题 2

序列(yn)(y_n)的乘积用∏n=h∞xn\prod_{n=h}^\infty x_n表示，与一般的因子xnx_n也称为无限乘积的指标hh的剩余类。

仍然在假设下，∏n=h∞xn\prod_{n=h}^\infty x_n是单位，从命题2得出，如果(zn)(z_n)是序列，使得zn=xnz_n = x_n除了指标的有限数之外，那么乘积与一般的因子 znz_n 收敛。

命题 3 0CAI

设*(kn)(k_n)*为整数*≥0\geq 0的严格递增的序列，*使得*k0=0k_0 = 0； 如果无限乘积与一般因子 xnx_n 收敛，*并且*如果我们把

引用了 2

引用了 III § 5. 可交换的无限和群, 习题 7, 附录 0

un=∏p=knkn+1−1xp, u_n = \prod_{p=k_n}^{k_{n+1}-1} x_p,

那么广义因子为 unu_n 的无限乘积是收敛的，我们有

∏n=0∞un=∏n=0∞xn. \prod_{n=0}^{\infty} u_n = \prod_{n=0}^{\infty} x_n.

对于序列(un)(u_n)的部分积的序列是序列(xn)(x_n)的部分积的序列的子序列。

最后，与用于阿贝尔的群 (章 III, § 5, no. 7) 的相同论点表明，如果规范化代数 A\mathbf{A} 中的序列 (xn)(x_n) 是*可乘的*，则乘积的一般因子是 xnx_n是收敛的，并且

∏n=0∞xn=∏n∈Nxn \prod_{n=0}^{\infty} x_n = \prod_{n \in \mathbf{N}} x_n

（也写为∏n=0∞xn\prod_{n=0}^{\infty} x_n）； 逆命题当然不正确（cf. 习题 7）。

习题

参见习题附录 0。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。