Tích vô hạn trong các đại số chuẩn hóa

==========

a) Cho p là tích của dãy nhân được $(x_n)$, và giả sử rằng p là một phần tử khả nghịch trong A; khi đó (Chương IX, § 3, no. 7, Mệnh đề 13) tồn tại $\alpha > 0$ và $a > 0$ sao cho, với mọi $y \in A$ thỏa

thì y là một phần tử khả nghịch và $\|y^{-1}\| \leq a$. Theo giả thiết, với mọi $\varepsilon$ sao cho $0 < \varepsilon < \alpha$, tồn tại một tập con hữu hạn H_0 của \mathbf{N} sao cho, với mọi tập con hữu hạn H của \mathbf{N} chứa H_0, ta có $\|p_H - p\| \leq \varepsilon$. Đặt $J_0 = [0, m]$ là một khoảng của \mathbf{N} chứa H_0; với mỗi tập con hữu hạn L của \mathbf{N} không giao với $J_0$, các số nguyên thuộc L đều lớn hơn các số nguyên thuộc H_0; do đó, nếu $H = H_0 \cup L$, ta có $p_H = p_{H_0} p_L$. Bây giờ, vì $\|p_{H_0} - p\| \leq \varepsilon \leq \alpha$, $p_{H_0}$ là một phần tử khả nghịch, và vì $\|p_{H_0} p_L - p\| \leq \varepsilon$, ta suy ra và cuối cùng $\|e - p_L\| \leq 2a \varepsilon$.

b) Giả sử rằng, với mỗi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con hữu hạn J_0 của \mathbf{N} sao cho, với mọi tập con hữu hạn L của \mathbf{N} không giao với J_0, ta có $\|e - p_L\| \leq \varepsilon$. Đặt $H_0 = [0, p]$ là một khoảng của \mathbf{N} chứa J_0; khi đó mọi tập con hữu hạn H của \mathbf{N} chứa H_0 đều có thể viết dưới dạng $H_0 \cup L$, trong đó các số nguyên trong L đều lớn hơn các số nguyên trong H_0; do đó ta có $p_H = p_{H_0} p_L$, và vì L không giao với J_0, $\|p_H - p_{H_0}\| \leq \varepsilon \|p_{H_0}\|$, và do đó $\|p_H\| = (1 + \varepsilon)\|p_{H_0}\|$. Nếu $p_{H_0} = 0$, thì dãy $(x_n)$ hiển nhiên là nhân được và tích của nó bằng 0; loại trừ trường hợp tầm thường này, tồn tại một khoảng $H_1 = [0, q]$ chứa $H_0$ và sao cho, với mọi tập con hữu hạn L của \mathbf{N} không giao với $H_1$, ta có $\|e - p_L\| \leq \varepsilon (\|p_{H_0}\|)^{-1}$. Như trên, suy ra rằng, với mỗi tập con hữu hạn H $\supset H_1$,

Do đó, tiêu chuẩn Cauchy cho thấy $J \to p_J$ có một giới hạn trong A đối với tập có hướng $\mathfrak{F}(\mathbf{N})$.

Nếu mọi $x_n$ đều là phần tử khả nghịch, thì mọi tích từng phần hữu hạn $p_J$ cũng vậy; do đó với mỗi tập con hữu hạn H chứa H_0 ta có

và điều này cho thấy rằng, trong nhóm nhân $G$ của các phần tử khả nghịch của A, ảnh của lọc mặt cắt của $\mathfrak{F}(\mathbf{N})$ qua ánh xạ $J \to p_J$ là một cơ sở lọc Cauchy đối với cấu trúc đều trái của G; nhưng vì G là đầy đủ (Chương IX, § 3, no. 7, Mệnh đề 13), giới hạn của ánh xạ $J \to p_J$ thuộc G.

Điều này suy ra ngay lập tức từ tiêu chuẩn của Định lý 1.

Hãy áp dụng tiêu chuẩn của Định lý 1. Với mọi tập con hữu hạn $L$ của $\mathbf{N}$, ta có $p_L - e = \prod_{n \in L} (e + u_n) - e = \sum_M \left( \prod_{n \in M} u_n \right)$, trong đó $M$ chạy qua tập hợp tất cả các tập con khác rỗng của $L$ (được sắp thứ tự tuyến tính theo thứ tự cảm sinh). Vì $\prod_{n \in M} u_n \leq \prod_{n \in M} |u_n|$, ta có thể viết

Bây giờ, vì chuỗi có số hạng tổng quát là $|u_n|$ hội tụ theo giả thiết, nên dãy $1 - |u_n|$ nhân được trong $\mathbf{R}_+^*$ (Chương IV, § 7, no. 4, Định lý 4). Do đó, với mỗi $\varepsilon > 0$ tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $\mathbf{N}$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $L$ của $\mathbf{N}$ không giao với $J_0$, ta có $\left| \prod_{n \in L} (1 + ||u_n||) - 1 \right| \leq \varepsilon$; suy ra kết quả.

Chỉ có hữu hạn số nguyên $n$ sao cho $|u_n| > 1$. Hãy đặt $J = [a, m]$ là một khoảng của $\mathbf{N}$ chứa tất cả các số nguyên này. Tích của dãy $(e + u_n)$ là tích của $p_J$ và phần tử $\prod_{n \notin J} (e - u_n)$, mà mọi thừa số của nó đều là các phần tử khả nghịch (Chương IX, § 3, no. 7, Hệ quả của Mệnh đề 12), và do đó bản thân nó là một phần tử khả nghịch; vì $p_J$ là tích của một số hữu hạn các phần tử không là ước của không, nên nó không là ước của không, và do đó $\prod_{n \in \mathbf{N}} (e + u_n)$ không là ước của không.

Điều kiện đủ để nhân được do Định lý 2 cho không phải nói chung là cần thiết (xem Bài tập 6). Tuy nhiên, nó là cần thiết trong trường hợp quan trọng khi $A$ là một đại số có hạng hữu hạn trên trường $\mathbf{R}$ (tức là $A$ hữu hạn chiều như một không gian vectơ trên $\mathbf{R}$); đặc biệt đây là trường hợp nếu $A$ là vành chia quaternion $\mathbf{H}$, hoặc một đại số ma trận $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$:

Từ Chương VII, § 3, no. 1, Mệnh đề 2, tồn tại một số $c > 0$ sao cho, với mọi họ hữu hạn $(x_i)_{i \in I}$ gồm các phần tử của $A$, ta có

Cho $(a_i)_{i \in \mathbf{N}}$ là một dãy tùy ý các phần tử của $A$. Với mỗi tập con hữu hạn $I$ của $\mathbf{N}$, đặt

Bổ đề là hiển nhiên nếu $J$ rỗng; ta sẽ chứng minh nó bằng quy nạp theo số phần tử của $J$. Cho $J = K \cup \{j\}$, trong đó $\{j\}$ lớn hơn hẳn mọi $i \in K$. Khi đó $p_J = p_K(e + a_j)$ và

suy ra

và theo giả thiết quy nạp và định nghĩa của $\varphi(I)$, ta có

điều này chứng minh bổ đề.

Vì $\sigma_J \leq \sigma_I$ với mọi tập con $J$ của $I$, suy ra từ (2)

và vì cũng có $\sigma_I \leq c \cdot \sup_{J \subset I} ||s_J||$, theo (1), nên suy ra rằng

điều này đưa đến kết quả.

Bây giờ cho $(e + u_n)$ là một dãy khả nhân trong $A$, có tích là một phần tử khả nghịch; theo Định lý 1 tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $\mathbf{N}$ sao cho, với mỗi tập con hữu hạn $H$ của $\mathbf{N}$ không giao với $J_0$, ta có

Theo Bổ đề 2, suy ra $\sum_{i \in H} ||u_i|| - 1$ với mọi tập con hữu hạn $H$ của $\mathbf{N}$ không giao với $J_0$, và do đó (Chương IV, § 7, no. 1, Định lý 1) họ $(||u_n||)$ là khả tổng trong $\mathbf{R}$.

a) Nếu tích vô hạn có nhân tử tổng quát là $x_n$ hội tụ và nếu $\prod_{n=0}^\infty x_n$ là một phần tử khả nghịch trong $A$, thì với mỗi $\varepsilon > 0$ tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho

khi $n_0 \leq m \leq n$.

b) Ngược lại, nếu dãy $(x_n)$ thỏa mãn điều kiện này, tích vô hạn với nhân tử tổng quát $x_n$ hội tụ; và nếu mỗi $x_n$ là một phần tử khả nghịch trong $A$, thì $\prod_{n=0}^\infty x_n$ là một phần tử khả nghịch.

Chứng minh của mệnh đề này theo từng bước chứng minh của Định lý 1, và được để lại cho người đọc (các tập con hữu hạn $L$ của $N$ trong chứng minh của Định lý 1 được thay thế bởi các khoảng).

Tích của dãy $(y_n)$ được ký hiệu bởi $\prod_{n=h}^\infty x_n$, và cũng được gọi là thặng dư chỉ số $h$ của tích vô hạn với nhân tử tổng quát $x_n$.

Vẫn dưới giả thiết rằng $\prod_{n=h}^\infty x_n$ là một phần tử khả nghịch, suy ra từ Mệnh đề 2 rằng nếu $(z_n)$ là một dãy sao cho $z_n = x_n$ với mọi chỉ số trừ một số hữu hạn chỉ số, thì tích với nhân tử tổng quát $z_n$ hội tụ.

Vì dãy các tích từng phần của dãy $(u_n)$ là một dãy con của dãy các tích từng phần của dãy $(x_n)$.

Cuối cùng, cùng một lập luận như đã được dùng cho các nhóm Abel (Chương III, § 5, no. 7) cho thấy rằng nếu một dãy $(x_n)$ trong một đại số chuẩn $\mathbf{A}$ là nhân được, thì tích có nhân tử tổng quát là $x_n$ hội tụ, và

(điều này cũng được viết là $\prod_{n=0}^{\infty} x_n$); đảo lại dĩ nhiên không đúng (xem Bài tập 7).