Ghi chú lịch sử
(Các số trong ngoặc vuông chỉ đến thư mục tài liệu tham khảo ở cuối Ghi chú này.)
Như đã nhận xét trong Ghi chú lịch sử cho Chương II, khái niệm không gian metric được M. Fréchet đưa vào năm 1906, và được F. Hausdorff phát triển vài năm sau đó trong tác phẩm "Mengenlehre". Khái niệm này trở nên hết sức quan trọng sau năm 1920, một phần do hệ quả của công trình cơ bản của S. Banach và trường phái của ông về các không gian định chuẩn và những ứng dụng của chúng vào giải tích phiếm hàm, và cũng vì tầm quan trọng của khái niệm giá trị tuyệt đối trong lý thuyết số và hình học đại số (trong đó đặc biệt quá trình hoàn chỉnh đối với một giá trị tuyệt đối đã tỏ ra là một công cụ mạnh).
Thập niên 1920-1930 chứng kiến cả một chuỗi nghiên cứu về các tính chất của không gian metric. Những nghiên cứu này, do trường phái Moskva tiến hành, đặc biệt nhằm tìm các điều kiện cần và đủ để một tôpô cho trước có thể metric hóa được. Phong trào tư tưởng này đã làm nổi bật tầm quan trọng của khái niệm không gian chuẩn, vốn được Tietze định nghĩa năm 1923 nhưng vai trò quan trọng của nó chỉ được nhận ra như một hệ quả của công trình của Urysohn [6] về mở rộng các hàm thực liên tục. Ngoại trừ trường hợp tầm thường của các hàm một biến thực, bài toán mở rộng ra toàn bộ không gian một hàm thực liên tục xác định trên một tập đóng lần đầu tiên được xét đến (trong trường hợp mặt phẳng) bởi H. Lebesgue [3]; trước kết quả hoàn chỉnh của Urysohn, bài toán này đã được giải đối với các không gian metric bởi H. Tietze [4]. Phép tổng quát hóa bài toán này để bao gồm các hàm nhận giá trị trong một không gian tôpô tùy ý đã có tầm quan trọng đáng kể trong tôpô đại số trong những năm gần đây. Các công trình gần đây cũng cho thấy rằng trong những câu hỏi thuộc loại này, khái niệm không gian chuẩn không dễ xử lý, vì nó cho phép quá nhiều khả năng về "bệnh lý"; thường phải thay nó bằng khái niệm hạn chế hơn là paracompact, được J. Dieudonné [9] đưa vào năm 1944. Trong lý thuyết này, kết quả đáng chú ý nhất là định lý của A. H. Stone [10], phát biểu rằng mọi không gian metric hóa được đều là paracompact (*).
Chúng ta đã ghi nhận (Ghi chú lịch sử cho Chương IV) công trình quan trọng vào cuối thế kỷ XIX và đầu thế kỷ XX (E. Borel, Baire, Lebesgue, Osgood, W. H. Young) về phân loại các tập điểm trong , và về phân loại và đặc trưng hóa các hàm thực nhận được từ các hàm liên tục bằng cách lặp lại quá trình chuyển qua giới hạn (đối với các dãy hàm). Người ta nhanh chóng nhận ra rằng các không gian metric, mà sự phát triển của chúng sau năm 1910 phần lớn là công trình của các trường phái Nga và Ba Lan, tạo thành một miền tự nhiên cho những nghiên cứu thuộc loại này. Trong số những điều khác, việc nghiên cứu các không gian metric đã cho thấy rõ vai trò cơ bản trong giải tích hiện đại của khái niệm tập không đáng kể và của định lý về giao đếm được của các tập mở trù mật trong một không gian metric đầy đủ (§ 5, no. 3, Định lý 1), định lý này lần đầu tiên được Osgood [1] chứng minh (độc lập) đối với đường thẳng thực và Baire [2] đối với các không gian .
Mặt khác, năm 1917, Souslin [5], sửa chữa một sai lầm của Lebesgue, đã chỉ ra rằng ảnh liên tục của một tập Borel không nhất thiết là một tập Borel; điều này dẫn ông đến việc định nghĩa và nghiên cứu một lớp tập hợp lớn hơn, từ đó được gọi là “các tập giải tích” hay “các tập Souslin”. Sau cái chết yểu của Souslin, công trình này được tiếp tục đặc biệt bởi N. Lusin (người có những ý tưởng đã truyền cảm hứng cho công trình của Souslin) và các nhà toán học Ba Lan (xem [7] và [8]). Ngày nay tầm quan trọng của các tập hợp này nằm ở những ứng dụng của chúng vào lý thuyết tích phân (trong đó, nhờ những tính chất đặc biệt của chúng, chúng cho phép những phép dựng không thể thực hiện đối với các tập đo được tùy ý) và vào lý thuyết thế hiện đại, trong đó định lý cơ bản về tính khả năng dung lượng của các tập Souslin, gần đây được G. Choquet [11] chứng minh, đã cho thấy mình rất phong phú về các ứng dụng đa dạng.
(*) Định lý này cho phép giải bài toán metric hóa thỏa đáng hơn so với các tiêu chuẩn thu được vào khoảng năm 1930 bởi trường phái Nga-Ba Lan (tiêu chuẩn “Nagata-Smirnov”, cf. § 4, Bài tập 22). Tuy nhiên, cần lưu ý rằng cho đến nay các tiêu chuẩn này hầu như chưa có ứng dụng nào; cũng như thường thấy trong lịch sử toán học, dường như tầm quan trọng của bài toán metric hóa nằm ít hơn ở nghiệm của nó so với những ý tưởng mới mà nó đã khơi dậy.
[1] W. Osgood, Non-uniform convergence and the integration of series term by term, Amer. Journ. of Math., 19 (1897), pp. 155-190. [2] R. Baire, Sur les fonctions de variables réelles, Ann. di Mat. (3), 3 (1899), p. 1. [3] H. Lebesgue, Sur le problème des Dirichlet, Rend. Circ. mat. di Palermo, 24 (1907), pp. 371-402. [4] H. Tietze, Über Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind, J. de Crelle, 145 (1915), pp. 9-14. [5] M. Souslin, Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis, C. R. Acad. Sci., 164 (1917), pp. 88-91. [6] P. Urysohn, Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Math. Ann., 94 (1925), p. 262. [7] N. Lusin, Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications, Paris (Gauthier-Villars), 1930. [8] K. Kuratowski, Topologie I, lần xuất bản thứ 2, Warszawa-Vrocaw, 1948. [9] J. Dieudonné, Une généralisation des espaces compacts, Journ. de Math. (9), 23 (1944), pp. 65-76. [10] A. H. Stone, Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc., 54 (1948), pp. 977-982. [11] G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier, 5 (1953-1954) pp. 131-295.