Note historique
(N. B. — Les chiffres romains entre parenthèses renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.)
Comme nous l’avons dit (Note historique du chap. II), la notion d’espace métrique fut introduite en 1906 par M. Fréchet, et développée quelques années plus tard par F. Hausdorff dans sa « Mengenlehre ». Elle acquit une grande importance après 1920, d’une part à la suite des travaux fondamentaux de S. Banach et de son école sur les espaces normés et leurs applications à l’Analyse fonctionnelle (voir EVT), de l’autre en raison de l’intérêt que présente la notion de valeur absolue en Arithmétique et en Géométrie algébrique (où notamment la complétion par rapport à une valeur absolue se montre très féconde).
De la période 1920–1930 datent toute une série d’études entreprises par l’école de Moscou sur les propriétés de la topologie d’un espace métrique, travaux qui visaient en particulier à obtenir des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une topologie donnée soit métrisable. C’est ce mouvement d’idées qui fit apparaître l’intérêt de la notion d’espace normal, définie en 1923 par Tietze, mais dont le rôle important ne fut reconnu qu’à la suite des travaux d’Urysohn (VI) sur le prolongement des fonctions continues numériques. En dehors du cas trivial des fonctions d’une variable réelle, le problème de l’extension à tout l’espace d’une fonction continue numérique définie dans un ensemble fermé, avait été traité pour la première fois (pour le cas du plan) par H. Lebesgue (III); avant le résultat définitif d’Urysohn, il avait été résolu pour les espaces métriques par H. Tietze (IV). L’extension de ce problème au cas des fonctions à valeurs dans un espace topologique quelconque a pris dans ces dernières années une importance considérable en Topologie algébrique. Les travaux récents ont en outre mis en évidence que, dans ce genre de questions, la notion d’espace normal est peu maniable, parce qu’elle offre encore trop de possibilités de « pathologie »; on doit le plus souvent lui substituer la notion plus restrictive d’espace paracompact, introduite en 1944 par J. Dieudonné (IX); dans cette théorie, le résultat le plus remarquable est le théorème, dû à A. H. Stone (X), selon lequel tout espace métrisable est paracompact.¹
Nous avons déjà signalé (Note hist. du chap. IV) les importants travaux de la fin du xixe siècle et du début du xxᵉ siècle (E. Borel, Baire, Lebesgue, Osgood,
¹ Ce théorème a permis de donner au problème de métrisation une solution plus satisfaisante que les critères obtenus vers 1930 par l’école russopolonaise (« critère de Nagata-Smirnov », cf. IX, p. 109, exerc. 32). Mais il faut noter que jusqu’ici ces critères n’ont guère reçu d’applications; comme si souvent dans l’histoire des mathématiques, il semble que le problème de métrisation ait eu moins d’importance par sa solution que par les notions nouvelles dont il aura amené le développement.
W. H. Young) sur la classification des ensembles de points dans les espaces , et sur la classification et la caractérisation des fonctions numériques obtenues en itérant, à partir des fonctions continues, le processus de passage à la limite (pour des suites de fonctions). On s’aperçut rapidement que les espaces métriques fournissaient un cadre naturel pour les recherches de cette nature, dont le développement après 1910 est surtout dû aux écoles russe et polonaise. Ce sont ces écoles qui ont entre autres mis en lumière le rôle fondamental joué en Analyse moderne par la notion d’ensemble maigre, et par le théorème sur l’intersection dénombrable d’ensembles ouverts partout denses dans un espace métrique complet (IX, p. 55, th. 1), démontré d’abord (indépendamment) par Osgood (I) pour la droite numérique et par Baire (II) pour les espaces .
D’autre part, en 1917, Souslin (V), corrigeant une erreur de Lebesgue, montrait que l’image continue d’un ensemble borélien n’est pas nécessairement borélienne, ce qui le conduisit à la définition et à l’étude de la catégorie plus vaste d’ensembles, appelés depuis « analytiques » ou « sousliniens »; après la mort prématurée de Souslin cette étude fut surtout poursuivie par N. Lusin (dont les idées avaient inspiré le travail de Souslin) et par les mathématiciens polonais (voir (VII) et (VIII)). L’importance actuelle de ces ensembles tient surtout à leurs applications à la théorie de l’intégration (où, grâce à leurs propriétés spéciales, ils permettent des constructions qui seraient impossibles sur des ensembles mesurables quelconques), et à la théorie moderne du potentiel, où le théorème fondamental sur la capacitabilité des ensembles sousliniens (IX, p. 73, th. 6), démontré récemment par G. Choquet (XI),¹ s’est révélé riche en applications variées.
¹ La démonstration que nous avons donnée de ce théorème est une simplification de celle de Choquet, due à M. Sion.
(I) W. Osgood, Non uniform convergence and the integration of series term by term, Amer. Journ. of Math., t. XIX (1897), p. 155–190.
(II) R. Baire, Sur les fonctions de variables réelles, Ann. di Mat. (3), t. III (1899), p. 1.
(III) H. Lebesgue, Sur le problème de Dirichlet, Rend. Circ. mat. di Palermo, t. XXIV (1907), p. 371–402.
(IV) H. Tietze, Über Funktionen die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind, J. de Crelle, t. CXLV (1915), p. 9–14.
(V) M. Souslin, Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis, C. R. Acad. Sci., t. CLXIV (1917), p. 88–91.
(VI) P. Urysohn, Ueber die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen, Math. Ann., t. XCIV (1925), p. 262.
(VII) N. Lusin, Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications, Paris (Gauthier-Villars), 1930.
(VIII) K. Kuratowski, Topologie, I, 2e éd., Warszawa-Vroctaw, 1948.
(IX) J. Dieudonné, Une généralisation des espaces compacts, Journ. de Math. (9), t. XXIII (1944), p. 65–76.
(X) A. H. Stone, Paracompactness and product spaces, Bull. Amer. Math. Soc., t. LIV (1948), p. 977–982.
(XI) G. Choquet, Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier, t. V (1953–1954), p. 131–295.