Produits infinis dans les algèbres normées

a) Si $(\mathbf{x}_n)$ est multipliable et a pour produit un élément inversible de $A$, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie finie $J_0$ de $\mathbf{N}$ telle que, pour toute partie finie $L$ de $\mathbf{N}$ ne rencontrant pas $J_0$, on ait $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_L \| \leq \varepsilon$.

b) Inversement, si la suite $(\mathbf{x}_n)$ satisfait à cette condition, elle est multipliable. En outre, si chacun des $\mathbf{x}_n$ est inversible, $\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{x}_n$ est inversible.

a) Soit $\mathbf{p}$ le produit de la suite multipliable $(\mathbf{x}_n)$, et supposons $\mathbf{p}$ inversible dans $A$; alors (IX, p. 40, prop. 14), il existe $\alpha > 0$ et $a > 0$ tels que, pour tout $y \in A$ tel que $\| y - \mathbf{p} \| \leq \alpha$, $y$ soit inversible, et $\| y^{-1} \| \leq a$. Par hypothèse, pour tout $\varepsilon$ tel que $0 < \varepsilon < \alpha$, il existe une partie finie $H_0$ de $\mathbf{N}$ telle que, pour toute partie finie $H$ de $\mathbf{N}$ contenant $H_0$, on ait $\| \mathbf{p}_H - \mathbf{p} \| \leq \varepsilon$. Soit $J_0 = \{0, m\}$ un intervalle de $\mathbf{N}$ contenant $H_0$; pour toute partie finie $L$ de $\mathbf{N}$ ne rencontrant pas $J_0$ les entiers appartenant à $L$ sont tous supérieurs à ceux appartenant à $H_0$; donc, si on pose $H = H_0 \cup L$, on a $\mathbf{p}_H = \mathbf{p}_{H_0} \mathbf{p}_L$. Or, comme $\| \mathbf{p}_{H_0} - \mathbf{p} \| \leq \varepsilon \leq \alpha$, $\mathbf{p}_{H_0}$ est inversible, et on a $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_{H_0}^{-1} \mathbf{p} \| \leq \varepsilon \| \mathbf{p}_{H_0}^{-1} \| \leq a \varepsilon$; de la relation $\| \mathbf{p}_{H_0} \mathbf{p}_L - \mathbf{p} \| \leq \varepsilon$, on tire $\| \mathbf{p}_L - \mathbf{p}_{H_0}^{-1} \mathbf{p} \| \leq \varepsilon \| \mathbf{p}_{H_0}^{-1} \| \leq a \varepsilon$ et finalement $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_L \| \leq 2a \varepsilon$.

b) Supposons que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe une partie finie $J_0$ de $\mathbf{N}$ telle que, pour toute partie finie $L$ de $\mathbf{N}$ ne rencontrant pas $J_0$, on ait $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_L \| \leq \varepsilon$. Soit $H_0 = \{0, p\}$ un intervalle de $\mathbf{N}$ contenant $J_0$; toute partie finie $H$ de $\mathbf{N}$ contenant $H_0$ peut s’écrire $H_0 \cup L$, où les entiers appartenant à $L$ sont supérieurs à ceux appartenant à $H_0$; on a donc $\mathbf{p}_H = \mathbf{p}_{H_0} \mathbf{p}_L$, et comme $L$ ne rencontre pas $J_0$, $\| \mathbf{p}_H - \mathbf{p}_{H_0} \| \leq \varepsilon \| \mathbf{p}_{H_0} \|$, et par suite $\| \mathbf{p}_H \| \leq (1 + \varepsilon) \| \mathbf{p}_{H_0} \|$. Si $\mathbf{p}_{H_0} = 0$, la suite $(\mathbf{x}_n)$ est évidemment multipliable et a pour produit 0 ; en écartant ce cas trivial, il existe un intervalle $H_1 = \{0, q\}$, contenant $H_0$ et tel que, pour toute partie finie $L$ de $\mathbf{N}$ ne rencontrant pas $H_1$, on ait $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_L \| \leq \varepsilon (\| \mathbf{p}_{H_0} \|)^{-1}$. On en déduit comme ci-dessus que, pour toute partie finie $H \supset H_1$

Le critère de Cauchy montre donc que $J \mapsto \mathbf{p}_J$ a une limite dans $A$ suivant l’ensemble filtrant $\mathscr{F}(\mathbf{N})$.

Si tous les $x_n$ sont inversibles, il en est de même de tous les produits partiels finis $p_J$; pour toute partie finie $H$ contenant $H_0$, on peut donc écrire

cela montre que, dans le groupe multiplicatif $G$ des éléments inversibles de $A$, l’image par l’application $J \mapsto p_J$ du filtre des sections de $\mathfrak{F}(N)$ est une base de filtre de Cauchy pour la structure uniforme gauche du groupe $G$; mais comme $G$ est complet ($IX$, p. 40, prop. 14), la limite de l’application $J \mapsto p_J$ appartient à $G$.

C’est ce que montre aussitôt le critère du th. 1 ($IX$, p. 79).

Appliquons le critère de $IX$, p. 79, th. 1; pour toute partie finie $L$ de $N$, on a $p_L = e - \prod_{n \in L} (e + u_n) - e = \sum_M \left( \prod_{n \in M} u_n \right)$, $M$ parcourant l’ensemble des parties non vides de $L$ (totalement ordonnées par l’ordre induit). Comme $\left| \prod_{n \in M} u_n \right| \leq \prod_{n \in M} \| u_n \|$, on peut écrire

Or, comme la série de terme général $\| u_n \|$ est convergente par hypothèse, la suite $(1 + \| u_n \|)$ est multipliable dans $\mathbf{R}_+^*$ ($IV$, p. 35, th. 4); pour tout $\varepsilon > 0$, il existe donc une partie finie $J_0$ de $N$ telle que, pour toute partie finie $L$ de $N$ ne rencontrant pas $J_0$, on ait $\left| \prod_{n \in L} (1 + \| u_n \|) - 1 \right| \leq \varepsilon$; d’où le théorème.

En effet, il n’y a qu’un nombre fini d’entiers $n$ tels que $\|u_n\| > 1$. Soit $J = \{0, m\}$ un intervalle de $\mathbf{N}$ contenant tous ces entiers. Le produit de la suite $(\mathbf{e} + u_n)$ est produit de $p_J$ et de l’élément $\prod_{n > m} (\mathbf{e} + u_n)$, dont tous les facteurs sont inversibles (IX, p. 39, corollaire), et qui est par suite inversible lui-même; comme $p_J$ est produit d’un nombre fini d’éléments non diviseurs de 0, il n’est pas diviseur de 0, et il en est de même de $\prod_{n \in \mathbf{N}} (\mathbf{e} + u_n)$.

La condition suffisante de multipliabilité donnée dans le th. 2 n’est pas nécessaire en général (cf. IX, p. 126, exerc. 6). Elle l’est toutefois dans le cas important où $A$ est une algèbre de rang fini sur le corps $\mathbf{R}$ (en particulier lorsque $A$ est le corps des quaternions $\mathbf{K}$, ou une algèbre de matrices $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$):

On sait (VII, p. 16, prop. 2) qu’il existe un nombre $c > 0$ tel que, pour toute famille finie $(\mathbf{x}_i)_{i \in I}$ de points de $A$, on ait

(1)

Soit $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une suite quelconque d’éléments de $A$. Pour toute partie finie $I$ de $\mathbf{N}$, posons

En effet, comme $\sigma_J \leq \sigma_I$ pour toute partie $J$ de $I$, on a, après (2),

comme, en vertu de (1), on a $\sigma_I \leq c \cdot \sup_{J \subset I} \| s_J \|$, on en déduit $\sigma_I \leq c \varphi(I)(1 + \sigma_I)$, d’où le lemme.

Cela étant, soit $(e + u_n)$ une suite multipliable dans $A$, dont le produit est inversible; d’après le th. 1 (IX, p. 79), il existe une partie finie $J_0$ de $\mathbf{N}$ telle que, pour toute partie finie $H$ de $\mathbf{N}$ ne rencontrant pas $J_0$, on ait

a) Si le produit infini de facteur général $x_n$ est convergent et si $\prod_{n=0}^\infty x_n$ est inversible, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $n_0$ tel que, pour $n_0 \leq m \leq n$, on ait $\left\| \prod_{k=m}^n x_k - e \right\| \leq \varepsilon$.

b) Inversement, si la suite $(x_n)$ satisfait à cette condition, le produit infini de facteur général $x_n$ est convergent; en outre, si chacun des $x_n$ est inversible, $\prod_{n=0}^\infty x_n$ est inversible.

Nous laissons au lecteur le développement de la démonstration de cette proposition, qui est calquée pas à pas sur celle du th. 1 de IX, p. 79 (les parties finies $L$ de $\mathbf{N}$ qui figurent dans cette dernière devant simplement être remplacées par des intervalles).

Le produit de la suite $(y_n)$ se note $\prod_{n=h}^\infty x_n$, et s’appelle encore le reste d’indice h du produit infini de facteur général $x_n$.

En supposant toujours que $\prod_{n=0}^{\infty} x_n$ est inversible, on déduit encore de la prop. 2 (IX, p. 82) que, si $(z_n)$ est une suite telle que $z_n = x_n$ sauf pour un nombre fini d’indices, le produit de facteur général $z_n$ est convergent.

En effet, la suite des produits partiels de la suite $(u_n)$ est extraite de la suite des produits partiels de la suite $(x_n)$.

Enfin, par le même raisonnement que pour les groupes commutatifs (III, p. 44), on voit que si, dans une algèbre normée $A$, une suite $(x_n)$ est multipliable, le produit de facteur général $x_n$ est convergent, et on a $\prod_{n=0}^{\infty} x_n = \prod_{n \in \mathbf{N}} x_n$ (qu’on écrit aussi $\prod_{n=0}^{\infty} x_n$); la réciproque est bien entendu inexacte (cf. IX, p. 126, exerc. 7).

Exercises