Các tích vô hạn trong các đại số định chuẩn

a) Nếu $(\mathbf{x}_n)$ là khả tích và có tích là một phần tử khả nghịch của $A$, thì, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $\mathbf{N}$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $L$ của $\mathbf{N}$ không giao với $J_0$, ta có $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_L \| \leq \varepsilon$.

b) Ngược lại, nếu dãy $(\mathbf{x}_n)$ thỏa mãn điều kiện này, thì nó có thể nhân được. Hơn nữa, nếu mỗi $\mathbf{x}_n$ là khả nghịch, $\prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{x}_n$ là khả nghịch.

a) Gọi $\mathbf{p}$ là tích của dãy có thể nhân được $(\mathbf{x}_n)$, và giả sử rằng $\mathbf{p}$ là khả nghịch trong $A$; khi đó (IX, p. 40, mệnh đề 14), tồn tại $\alpha > 0$ và $a > 0$ sao cho, với mọi $y \in A$ thỏa mãn $\| y - \mathbf{p} \| \leq \alpha$, $y$ là khả nghịch, và $\| y^{-1} \| \leq a$. Theo giả thiết, với mọi $\varepsilon$ sao cho $0 < \varepsilon < \alpha$, tồn tại một tập con hữu hạn $H_0$ của $\mathbf{N}$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $H$ của $\mathbf{N}$ chứa $H_0$, ta có $\| \mathbf{p}_H - \mathbf{p} \| \leq \varepsilon$. Gọi $J_0 = \{0, m\}$ là một khoảng của $\mathbf{N}$ chứa $H_0$; với mọi tập con hữu hạn $L$ của $\mathbf{N}$ không gặp $J_0$, các số nguyên thuộc $L$ đều lớn hơn các số nguyên thuộc $H_0$; do đó, nếu đặt $H = H_0 \cup L$, ta có $\mathbf{p}_H = \mathbf{p}_{H_0} \mathbf{p}_L$. Bây giờ, vì $\| \mathbf{p}_{H_0} - \mathbf{p} \| \leq \varepsilon \leq \alpha$, $\mathbf{p}_{H_0}$ là khả nghịch, và ta có $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_{H_0}^{-1} \mathbf{p} \| \leq \varepsilon \| \mathbf{p}_{H_0}^{-1} \| \leq a \varepsilon$; từ quan hệ $\| \mathbf{p}_{H_0} \mathbf{p}_L - \mathbf{p} \| \leq \varepsilon$, suy ra $\| \mathbf{p}_L - \mathbf{p}_{H_0}^{-1} \mathbf{p} \| \leq \varepsilon \| \mathbf{p}_{H_0}^{-1} \| \leq a \varepsilon$ và cuối cùng $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_L \| \leq 2a \varepsilon$.

b) Giả sử rằng, với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $\mathbf{N}$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $L$ của $\mathbf{N}$ không gặp $J_0$, ta có $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_L \| \leq \varepsilon$. Gọi $H_0 = \{0, p\}$ là một khoảng của $\mathbf{N}$ chứa $J_0$; mọi tập con hữu hạn $H$ của $\mathbf{N}$ chứa $H_0$ có thể được viết $H_0 \cup L$, trong đó các số nguyên thuộc $L$ lớn hơn các số nguyên thuộc $H_0$; do đó ta có $\mathbf{p}_H = \mathbf{p}_{H_0} \mathbf{p}_L$, và vì $L$ không gặp $J_0$, $\| \mathbf{p}_H - \mathbf{p}_{H_0} \| \leq \varepsilon \| \mathbf{p}_{H_0} \|$, và do đó $\| \mathbf{p}_H \| \leq (1 + \varepsilon) \| \mathbf{p}_{H_0} \|$. Nếu $\mathbf{p}_{H_0} = 0$, dãy $(\mathbf{x}_n)$ hiển nhiên nhân được và có tích bằng 0; loại trừ trường hợp tầm thường này, tồn tại một khoảng $H_1 = \{0, q\}$, chứa $H_0$ và sao cho, với mọi tập con hữu hạn $L$ của $\mathbf{N}$ không gặp $H_1$, ta có $\| \mathbf{e} - \mathbf{p}_L \| \leq \varepsilon (\| \mathbf{p}_{H_0} \|)^{-1}$. Ta suy ra như trên rằng, với mọi tập con hữu hạn $H \supset H_1$

Tiêu chuẩn Cauchy do đó chỉ ra rằng $J \mapsto \mathbf{p}_J$ có một giới hạn trong $A$ theo tập lọc $\mathscr{F}(\mathbf{N})$.

Nếu tất cả các $x_n$ đều khả nghịch, điều tương tự cũng đúng đối với tất cả các tích từng phần hữu hạn $p_J$; với mọi tập con hữu hạn $H$ chứa $H_0$, do đó có thể viết

điều này chỉ ra rằng, trong nhóm nhân $G$ của các phần tử khả nghịch của $A$, ảnh bởi ánh xạ $J \mapsto p_J$ của bộ lọc các đoạn của $\mathfrak{F}(N)$ là một cơ sở bộ lọc Cauchy đối với cấu trúc đều trái của nhóm $G$; nhưng vì $G$ là đầy đủ ($IX$, p. 40, prop. 14), giới hạn của ánh xạ $J \mapsto p_J$ thuộc $G$.

Đó là điều mà tiêu chuẩn của định lý 1 ($IX$, p. 79) chỉ ra ngay lập tức.

Áp dụng tiêu chuẩn của $IX$, p. 79, định lý 1; với mọi tập con hữu hạn $L$ của $N$, ta có $p_L = e - \prod_{n \in L} (e + u_n) - e = \sum_M \left( \prod_{n \in M} u_n \right)$, $M$ chạy trên tập hợp các tập con khác rỗng của $L$ (được sắp thứ tự toàn phần bởi cấp cảm sinh). Vì $\left| \prod_{n \in M} u_n \right| \leq \prod_{n \in M} \| u_n \|$, ta có thể viết

Bây giờ, vì chuỗi có số hạng tổng quát $\| u_n \|$ hội tụ theo giả thiết, dãy $(1 + \| u_n \|)$ là nhân được trong $\mathbf{R}_+^*$ ($IV$, p. 35, định lý 4); với mọi $\varepsilon > 0$, do đó tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $N$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $L$ của $N$ không gặp $J_0$, ta có $\left| \prod_{n \in L} (1 + \| u_n \|) - 1 \right| \leq \varepsilon$; do đó có định lý.

Thật vậy, chỉ có một số hữu hạn các số nguyên $n$ sao cho $\|u_n\| > 1$. Đặt $J = \{0, m\}$ là một khoảng của $\mathbf{N}$ chứa tất cả các số nguyên này. Tích của dãy $(\mathbf{e} + u_n)$ là tích của $p_J$ và của phần tử $\prod_{n > m} (\mathbf{e} + u_n)$, tất cả các thừa số của nó đều khả nghịch (IX, p. 39, hệ quả), và do đó bản thân nó cũng khả nghịch; vì $p_J$ là tích của một số hữu hạn các phần tử không là các ước của 0, nó không là một ước của 0, và điều tương tự đúng với $\prod_{n \in \mathbf{N}} (\mathbf{e} + u_n)$.

Điều kiện đủ cho tính nhân được cho trong định lý 2 nói chung không phải là cần thiết (xem IX, p. 126, bài tập 6). Tuy nhiên, nó là cần thiết trong trường hợp quan trọng khi $A$ là một đại số có hạng hữu hạn trên trường $\mathbf{R}$ (đặc biệt khi $A$ là trường các quaternion $\mathbf{K}$, hoặc một đại số ma trận $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$):

Đã biết (VII, p. 16, mệnh đề 2) rằng tồn tại một số $c > 0$ sao cho, với mọi họ hữu hạn $(\mathbf{x}_i)_{i \in I}$ các điểm của $A$, ta có

(1)

Cho $(a_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một dãy các phần tử của $A$ bất kỳ. Với mọi tập con hữu hạn $I$ của $\mathbf{N}$, đặt

Thật vậy, vì $\sigma_J \leq \sigma_I$ với mọi tập con $J$ của $I$, nên theo (2) ta có,

vì, theo (1), ta có $\sigma_I \leq c \cdot \sup_{J \subset I} \| s_J \|$, suy ra $\sigma_I \leq c \varphi(I)(1 + \sigma_I)$, do đó bổ đề.

Như vậy, cho $(e + u_n)$ là một dãy nhân được trong $A$, có tích khả nghịch; theo định lý 1 (IX, p. 79), tồn tại một tập con hữu hạn $J_0$ của $\mathbf{N}$ sao cho, với mọi tập con hữu hạn $H$ của $\mathbf{N}$ không gặp $J_0$, ta có

(a) Nếu tích vô hạn với nhân tử tổng quát $x_n$ hội tụ và nếu $\prod_{n=0}^\infty x_n$ khả nghịch, thì với mọi $\varepsilon > 0$, tồn tại $n_0$ sao cho, với $n_0 \leq m \leq n$, ta có $\left\| \prod_{k=m}^n x_k - e \right\| \leq \varepsilon$.

(b) Ngược lại, nếu dãy $(x_n)$ thỏa mãn điều kiện này, tích vô hạn với nhân tử tổng quát $x_n$ hội tụ; hơn nữa, nếu mỗi $x_n$ đều khả nghịch, $\prod_{n=0}^\infty x_n$ là khả nghịch.

Ta để cho người đọc việc triển khai chứng minh của mệnh đề này, chứng minh được sao chép từng bước từ chứng minh của định lý 1 của IX, p. 79 (các phần hữu hạn $L$ của $\mathbf{N}$ xuất hiện trong chứng minh sau chỉ cần được thay thế bởi các khoảng).

Tích của dãy $(y_n)$ được ký hiệu là $\prod_{n=h}^\infty x_n$, và cũng được gọi là phần dư có chỉ số h của tích vô hạn với nhân tử tổng quát $x_n$.

Vẫn giả sử rằng $\prod_{n=0}^{\infty} x_n$ là khả nghịch, ta cũng suy ra từ mệnh đề 2 (IX, p. 82) rằng, nếu $(z_n)$ là một dãy sao cho $z_n = x_n$ ngoại trừ một số hữu hạn các chỉ số, thì tích với nhân tử tổng quát $z_n$ hội tụ.

Thật vậy, dãy các tích từng phần của dãy $(u_n)$ được trích ra từ dãy các tích từng phần của dãy $(x_n)$.

Cuối cùng, bằng cùng một lập luận như đối với các nhóm giao hoán (III, p. 44), ta thấy rằng nếu, trong một đại số chuẩn $A$, một dãy $(x_n)$ là nhân được, thì tích với nhân tử tổng quát $x_n$ hội tụ, và ta có $\prod_{n=0}^{\infty} x_n = \prod_{n \in \mathbf{N}} x_n$ (cũng được viết là $\prod_{n=0}^{\infty} x_n$); đảo lại dĩ nhiên là sai (xem IX, p. 126, bài tập 7).

Bài tập