Bourbaki

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5. 可交换的无限和群

1. 可交换族群

在这个截面中，我们只关心*豪斯多夫交换拓扑群*，其合成的律被写成*加法*。只有最重要的结果才会被转换为乘法记号。

令GG为Hausdorff交换律群，令II为任意指标集合，并令(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}为GG的点族，索引为II。对于II的每个*有限*子集JJ，我们将GG的元素sJ=∑i∈Jxis_J = \sum_{i \in J} x_i关联起来，我们称之为族的*有限部分和*(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}、相应的到集合 JJ。如果F(I)\mathfrak{F}(I)表示II的有限子集*的*集合，那么我们就有F(I)\mathfrak{F}(I)的映射J→sJJ \to s_J到GG。现在F(I)\mathfrak{F}(I)是一个关于关系⊂\subset的*定向*集合；因为如果JJ和J′J'是F(I)\mathfrak{F}(I)的两个元素，那么J⊂J∪J′J \subset J \cup J'和J′⊂J∪J′J' \subset J \cup J'，并且J∪J′J \cup J'是II的有限子集。令Φ\Phi为有向集合F(I)\mathfrak{F}(I)（章I, § 6, no. 3）的*截面过滤器*。

定义 1 0BMB

设(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}是Hausdorff交换律群GG的点族；令F(I)\mathfrak{F}(I)为指标集合II有限子集集合，并且对于II的每个有限子集JJ，令sJs_J为其中的和 xix_i使得i∈Ji \in J。如果映射J→sJJ \to s_J对于关系⊂\subset定向的集合F(I)\mathfrak{F}(I)的截面过滤器Φ\Phi有极限，则称族(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}是可求和的；然后，这个极限被称为(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}家族的和，并用∑i∈Ixi\sum_{i \in I} x_i表示（或者简称为∑ixi\sum_i x_i，甚至∑xi\sum x_i，当没有歧义的风险时）。

被以下引用 3

被以下引用 § 5. 可交换的无限和群, 注 1, 注 3

定义 1 等价于： family (xi)(x_i) 可求和，其和为 ss 如果，对于每个邻域 VV 原点在 GG，*有有限子集* J0J_0*of*II*这样对于每个有限子集*J⊃J0J \supset J_0*of*II*我们有*sJ∈s+Vs_J \in s + V。

如果GG被写成“乘法”，并且如果我们为II的每个有限子集JJ放置pJ=∏i∈Jxip_J = \prod_{i \in J} x_i，则如果映射J→pJJ \to p_J相对于过滤器具有极限，则(xi)(x_i)族将被称为“可乘” Φ\Phi；这个极限称为(xi)(x_i)家族的*乘积*，用∏i∈Ixi\prod_{i \in I} x_i表示。

注 1 0BMC

当II是*有限*时，定义1约化到有限族的和的普通定义。更一般地，如果 II 是任意的，并且 xi=0x_i = 0 除外，当指标 ii 属于到 II 的*有限* 子集 JJ 时，则和 ∑i∈Ixi\sum_{i \in I} x_i 等于∑i∈Jxi\sum_{i \in J} x_i。

引用了 1

引用了 定义 1

注 2 0BMD

可求和族的定义不涉及指标集合II的任何*排序*，因此我们可以说如此定义的和的概念是*可交换的*。更准确地说，我们有以下性质：令(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}为可求和族，并令φ\varphi为指标集合KK到集合II的双射映射；那么如果我们放入 yx=xφ(x)y_x = x_{\varphi(x)}，则族 (yx)x∈K(y_x)_{x \in K} 是可求和的并且具有与 (xi)(x_i) 相同的和。因为如果s=∑i∈Ixis = \sum_{i \in I} x_i，并且如果每个有限子集JJ包含有限子集J0J_0都有∑i∈Jxi∈s+V\sum_{i \in J} x_i \in s + V，那么对于KK的每个有限子集LL我们将有∑x∈Lyx∈s+V\sum_{x \in L} y_x \in s + V 包含φ‾(J0)\overline{\varphi}(J_0)。

注 3 0BME

更一般地，定义 1 适用于 Hausdorff 拓扑空间 XX 中的点的每个族，其上已定义了合成* 的*结合和交换律，可加法书写；因为它没有利用拓扑群的公理。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 定义 1

被以下引用 IV § 7. 实数的无限和和乘积, 注 1, IX Appendix 0

2. 柯西准则

设(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}是GG中的可求和族。那么对于GG中原点的每个邻域VV，II都有有限子集J0J_0，这样，对于II的每个有限子集KK*不满足*J0J_0，我们有sK∈Vs_K \in V。因为 J=J0∪KJ = J_0 \cup K 是任意有限子集包含 J0J_0；令 s=∑i∈Jxis = \sum_{i \in J} x_i 且令 WW 为 oo 的对称邻域，使得 W+W⊂VW + W \subset V；那么，到定义 1，我们可以选择J0J_0，这样sJ∈s+Ws_J \in s + W和sJ0∈S+Ws_{J_0} \in S + W，这意味着sK=sJ−sJ0∈W+W⊂Vs_K = s_J - s_{J_0} \in W + W \subset V。

相反，假设家庭(xi)(x_i)有这个性质。那么滤波器Φ\Phi的像，在映射J→sJJ \to s_J下，是GG中的*柯西滤波器基*。因为如果JJ是有限子集包含J0J_0，并且如果KK表示J∩CJ0J \cap C J_0，那么K∩J0=∅K \cap J_0 = \varnothing和sK=sJ−sJ0s_K = s_J - s_{J_0}，所以sJ∈sJ0+Vs_J \in s_{J_0} + V。如果 J′J' 是另一个有限子集包含 J0J_0，则sJ−sJ′∈V+Vs_J - s_{J'} \in V + V，结果如下。因而：

定理 1（柯西准则） 0BMF

在 Hausdorff 交换律群* GG 中，*在阶中，一个家庭* (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} 应该是可求和的，对于每个邻域 VV 原点在 GG，*有有限子集* J0J_0 of II 使得 ∑i∈Kxi∈V\sum_{i \in K} x_i \in V 对于所有有限子集 KK of II 不满足 J0J_0。 如果 GG 完整，则这个必要的条件也足够了。

被以下引用 6

被以下引用 引理 3, AC III § 2, 命题 5, AC III § 2, 引理（一）, IV § 7, 命题 11, IX § 3, 命题 2, VII § 3, 命题 4, VII § 3

因而，通过从(xi)(x_i)家族中去掉项的（足够大）有限数，幸存亚家族的每个*有限部分和*必须*接近*oo*如我们所愿*。

定理 1 的第一个部分的直接的推论是以下命题：

命题 1 0BMG

如果族* (xi)(x_i) 是可求和的，那么 oo 包含的每个邻域所有 xix_i 除了有限子族（在其他字中，如果II是无限的，我们对于补集过滤器有lim⁡xi=o\lim x_i = o 有限子集*II）。

引用了 1 · 被以下引用 4

引用了 IV § 7. 实数的无限和和乘积

被以下引用 推论, 定理 2（结合性 / 和）, IV § 7. 实数的无限和和乘积, VIII § 3. 复数的无限和和乘积

对于一个家庭(xi)(x_i)来说，这个*必要的*条件一般来说是*远远不够的*，即使GG是完整的；稍后我们会看到很多例（参见章IV, § 7）。

推论 0BMH

设* (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} 是可交换群中的可求族，其单位元素具有邻域的可数基数系统。那么指标 ii *的集合 使得 xi≠ox_i \neq o 是可数的。

令 (Vn)(V_n) 为邻域 oo 的可数基本系统。如果HnH_n是所有指标ii中的集合，使得xi∉Vnx_i \notin V_n，则指标ii的集合HH使得xi≠ox_i \neq o是并集合 HnH_n，并且每个 HnH_n 都是“有限”命题 1。

如果我们不假设原点具有可数基数系统邻域，则该推论不再必然有效。 \* 考虑，对于例，乘积群 RR\mathbf{R}^\mathbf{R} [实数变量的所有有限实值函数的加法群，其中拓扑逐点收敛 (cf. 章) X, , no. 3)]，并令faf_a为R\mathbf{R}的元素，使得fa(a)=1f_a(a) = 1和fa(x)=0f_a(x) = 0，如果x≠ax \neq a；那么族(fa)a∈R(f_a)_{a \in \mathbf{R}}是可求和的，它的和是函数，其值在R\mathbf{R}的每个点处都是1。\

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了 命题 1

被以下引用 IV § 7. 实数的无限和和乘积, VII § 3. 无限和群 $\mathbf{R}^n$, VIII § 3. 复数的无限和和乘积

注 0BMI

当 G 被写成乘法时，柯西准则采用以下形式 ：为了使族 (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} 可乘，必须对于单位元素的每个邻域 V，都应该存在 I 的有限子集 J0J_0，使得对于每个I的有限子集 K 不满足J0J_0，有∏i∈Kxi∈V\prod_{i \in K} x_i \in V；只要 G 是完备的，这个条件就足够了。我们推断，如果I是无限的并且(xi)(x_i)是可乘的，那么lim⁡xi=1\lim x_i = 1相对于I的有限子集的补集过滤器；如果加法单位元素中的可数基数系统为邻域，则集合为指标 i，使得 xi≠1x_i \neq 1 是可数的。

3. 部分和; 结合性

命题 2 0BMJ

在完整的群 G 中，可求和族的每个子族都是可求和的。

被以下引用 1

被以下引用 引理（一）, IV § 7

因为如果一个族(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}满足柯西准则，那么每个亚族都满足它。

如果(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}是可求和的，则和∑i∈Jxi\sum_{i \in J} x_i是为I的每个子集J定义的，无论是否有限：它再次被称为族(xi)(x_i)、相应的到子集J的部分和指标集合。可求和族的分部和的集合显然包含在有限分部和的闭包集合中。

定理 2（结合性 / 和） 0BMK

令(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}为完整群G中的可求族，并令(Iλ)λ∈L(I_\lambda)_{\lambda \in L}为I中的任意划分。如果 sλs_\lambda 表示 ∑i∈Iλxi\sum_{i \in I_\lambda} x_i，则族 (sλ)λ∈L(s_\lambda)_{\lambda \in L} 可求和，并且与族 (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} 具有相同的和。

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了 III § 3. 制服结构群, 命题 1, 习题 17, § 7

被以下引用 习题 2, § 7, 注, IV § 7

因此，如果我们在完整的群中有一个可求和族，我们可以将其项任意关联到子族中，并由此获得每个子族的形式和；这些部分和的族再次可求和，并且其和等于给定族的族。

令s=∑i∈Ixis = \sum_{i \in I} x_i，并令VV是GG中任何0的*封闭*邻域。然后有II的有限子集J0J_0，这样，对于II的每个有限子集JJ，其中包含J0J_0，我们有∑i∈Jxi∈s+V\sum_{i \in J} x_i \in s + V。令 K0K_0 为 LL 由……组成或指标 λ\lambda 的子集，使得 Jλ=Iλ∩J0J_\lambda = I_\lambda \cap J_0 不为空：K0K_0 显然是有限的。令KK为LL中的任意有限子集，其中包含K0K_0；我们将证明∑λ∈Ksλ∈s+V\sum_{\lambda \in K} s_\lambda \in s + V，这将建立定理。

现在sλs_\lambda非常接近(xi)(x_i)的有限部分和，其指标全部为属于到IλI_\lambda；更准确地说，给定 0 的任何对称邻域 WW，对于 IλI_\lambda 的每个 λ∈K\lambda \in K 有限子集 HλH_\lambda，*包含于* JλJ_\lambda 都存在sλ−∑i∈Hλxi∈Ws_\lambda - \sum_{i \in H_\lambda} x_i \in W。让J=∑λ∈KHλJ = \sum_{\lambda \in K} H_\lambda；那么JJ是II包含于J0J_0的有限子集，我们有

∑i∈Jxi=∑i∈⋃λ∈KHλxi=∑λ∈K(∑i∈Hλxi) \sum_{i \in J} x_i = \sum_{i \in \bigcup_{\lambda \in K} H_\lambda} x_i = \sum_{\lambda \in K} (\sum_{i \in H_\lambda} x_i)

乘以有限和的结合性。因此，根据J0J_0和HλH_\lambda的选择，我们有

∑λ∈Ksλ∈s+V+nW \sum_{\lambda \in K} s_\lambda \in s + V + nW

其中nn是KK中元素的数；这个关系对于每个WW成立，因此也适用于∑λ∈Ksλ∈s+V\sum_{\lambda \in K} s_\lambda \in s + V，因为VV（正在关闭）是邻域V+nWV + nW的交[§ 3, no. 1，公式（1）]。

因此，我们可以将和写为 结合性公式：

(I)

∑λ∈L(∑i∈Iλxi)=∑i∈⋃λ∈LIλxi, \sum_{\lambda \in L} (\sum_{i \in I_\lambda} x_i) = \sum_{i \in \bigcup_{\lambda \in L} I_\lambda} x_i,

只要族 (Iλ)(I_\lambda) 是其并的 划分 并且定义了右侧，它就有效。特别地，如果指标集合是*乘积*I=L×MI = L \times M，并且如果“双”族(xλμ)(λ,μ)∈L×M(x_{\lambda \mu})_{(\lambda, \mu) \in L \times M}是*可求和的*，我们就有阶的变换的求和*公式*

(2)

∑(λ,μ)∈L×Mxλμ=∑λ∈L(∑μ∈Mxλμ)=∑μ∈M(∑λ∈Lxλμ). \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} x_{\lambda \mu} = \sum_{\lambda \in L} (\sum_{\mu \in M} x_{\lambda \mu}) = \sum_{\mu \in M} (\sum_{\lambda \in L} x_{\lambda \mu}).

应该注意的是，(1) 的*左侧*可以具有含义，而无需定义右侧。对于例，考虑I=LX{1,2}I = LX \{1, 2\}和LL无限大的情况，IλI_\lambda由两个元素、(λ,1)(\lambda, 1)和(λ,2)(\lambda, 2)组成；如果我们采用xλ,1=a, xλ,2=−ax_{\lambda, 1} = a,\ x_{\lambda, 2} = -a，其中aa是GG的任何非零元素，那么IλI_\lambda的所有部分和相应的都是零，因此（1）的左侧被定义并等于0，而（1）的右侧没有任何意义，如命题 1 所示。

同样，(2) 的左边可能没有定义，但 (2) 中的两个“双和”都有一个含义；它们所代表的GG的元素不必相等（参见章IV, § 7、习题17）。

因此，虽然总是可以“关联”和的项，但另一方面，不可能将和的项“分离”到它们的元素中，这些项本身表现为和。然而，只要这些“可分离的”项中的数是有限的，这个运算就是合法的。

命题 3 0BML

令(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}为群GG的点族，令(Iλ)λ∈L(I_\lambda)_{\lambda \in L}为II的有限划分。如果每个子族 (xi)i∈Iλ(x_i)_{i \in I_\lambda} 可求和，则族 (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} 可求和，并且公式 (1) 有效。

被以下引用 2

被以下引用 注, 引理（一）, IV § 7

当L=(1,2)L = (1,2)时证明命题就足够了；完成此操作后，我们将在 LL 的元素的数上经过归纳。设s1=∑i∈I1xis_1 = \sum_{i \in I_1} x_i和s2=∑i∈I2xis_2 = \sum_{i \in I_2} x_i。对于原点的每个邻域 VV，有 I1I_1（或 I2I_2）的有限子集 J1J_1（或J2J_2），这样，对于每个有限子集 H1H_1（或H2H_2） I1I_1（分别I2I_2）包含J1J_1（分别J2J_2），我们有∑i∈H1xi∈S1+V\sum_{i \in H_1} x_i \in S_1 + V（分别∑i∈H2xi∈s2+V\sum_{i \in H_2} x_i \in s_2 + V）。如果我们输入J0=J1∪J2J_0 = J_1 \cup J_2，则对于II中的每个有限子集HH（其中包含J0J_0），我们有∑i∈Hxi∈S1+s2+V+V\sum_{i \in H} x_i \in S_1 + s_2 + V + V，结果如下。

4. 群乘积中的可求和族

命题 4 0BMM

令 G=∏λ∈LGλG = \prod_{\lambda \in L} G_\lambda 为 Hausdorff 交换族群的乘积。那么GG的点的族(xi)i∈I(x_i)_{i \in I}是可求和的当且仅当对于每个λ∈L\lambda \in L，族(prλxi)i∈I(\mathrm{pr}_\lambda x_i)_{i \in I}是可求和的；如果sλs_\lambda是这个家族的和，那么s=(sλ)s = (s_\lambda)就是(xi)(x_i)家族的和。

被以下引用 2

被以下引用 引理 1, A IV § 4, 命题 1, VII § 3

这紧随条件的收敛，相对于函数的滤波器，它在乘积空间中取值（章I, § 1, no. 6，推论1到命题10）；实际上，对于 II 中的每个有限子集 JJ，我们有

prλ(∑i∈Jxi)=∑i∈Jprλxi. \mathrm{pr}_\lambda \left( \sum_{i \in J} x_i \right) = \sum_{i \in J} \mathrm{pr}_\lambda x_i.

5. 连续同态下可求和族的像

命题 5 0BMN

令 ff 为交换律群 GG 到交换律群 G′G' 的连续同态。如果(xi)(x_i)是GG中的可求和族，则(f(xi))(f(x_i))是G′G'中的可求和族，并且我们有

Σf(xi)=f(Σxi). \Sigma f(x_i) = f(\Sigma x_i).
引用了 1

引用了 推论 1, I § 7

如果JJ是指标集合中的任意一个有限子集，则收敛滤波器的ff下的f(∑i∈Jxi)=∑i∈Jf(xi)f \left( \sum_{i \in J} x_i \right) = \sum_{i \in J} f(x_i)和像基是收敛滤波器基（章I, § 7, no. 4，推论1为命题9)。

命题 6 0BMO

令 (xi),(yi)(x_i), (y_i) 为两个可求和族，在群 GG 中具有相同的指标集合。那么族 (−xi),(nxi)(-x_i), (nx_i) (n∈Zn \in \mathbf{Z}), (xi+yi)(x_i + y_i) 是可求和的，我们有

Σ(−xi)=−Σxi,Σ(nxi)=nΣxi,Σ(xi+yi)=Σxi+Σyi. \begin{align*} \Sigma(-x_i) &= -\Sigma x_i, \\ \Sigma(nx_i) &= n\Sigma x_i, \\ \Sigma(x_i + y_i) &= \Sigma x_i + \Sigma y_i. \end{align*}
被以下引用 1

被以下引用 定理 3, IV § 7

对于x→−xx \to -x和x→nxx \to nx来说，GG的同态连续到GG；另一方面，如果(xi)(x_i)和(yi)(y_i)可求和，那么(xi,yi)(x_i, y_i)族在G×GG \times G中可求和，并且由于(x,y)→x+y(x, y) \to x + y是G×GG \times G到GG的连续同态，我们推导出(6)。

注 0BMP

命题 4 和 5 再次适用于前面提到的拓扑空间 XX 中的可求和族的情况，其具有合成的结合律和交换律律；如果我们假设在加法中x+yx + y在X×XX \times X上连续，则同样适用于命题 3和公式 (6)。

引用了 1

引用了 命题 3

6. Series

考虑 Hausdorff 交换式群中点 (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbf{N}} 的序列，以及 部分和 sn=∑p=0nxps_n = \sum_{p=0}^n x_p (n∈Nn \in \mathbf{N}) 的形式序列。 映射(xn)→(sn)(x_n) \to (s_n)是GG的点序列(xn)(x_n)的集合GNG^\mathbf{N}的*双射*，在其自身上；因为如果给定序列 (sn)(s_n)，序列 (xn)(x_n) 由关系 x0=s0,xn=sn−sn−1x_0 = s_0, x_n = s_n - s_{n-1} (n≥1n \geq 1) 确定。

由序列* (xn)(x_n) 定义的 级数，或一般项 为 xnx_n 的 *级数 [或简单地称为 级数 (xn)(x_n)]，通过滥用语言，如果没有混淆的风险]被定义为 右 序列(xn)(x_n)和(sn)(s_n)因此相关联。如果序列 (sn)(s_n) 收敛，则由序列 (xn)(x_n) 定义的级数被称为“收敛”；这个序列的极限称为级数*的*和，写成∑n=0∞xn\sum_{n=0}^\infty x_n（或∑n=0∞xn\sum_{n=0}^\infty x_n，滥用记号）。

如果级数（其通项为xnx_n）*收敛*，我们将有时允许自己滥用语言，将其称为“级数∑n=0∞xn\sum_{n=0}^\infty x_n”或“级数x0+x1+⋯+xn+⋯x_0 + x_1 + \cdots + x_n + \cdots”。

级数收敛的*必要*条件（其一般项为xnx_n）是序列(sn)(s_n)应该是*柯西序列*，也就是说，对于原点的每个邻域VV GG 存在整数 n0n_0，因此对于整数 n≥n0, p>0n \geq n_0,\ p > 0 中的每一个对，我们有

sn+p−sn=∑i=n+1n+pxi∈V. s_{n+p} - s_n = \sum_{i=n+1}^{n+p} x_i \in V.
如果GG是*完整的*，那么这个条件也是*充分的*（*柯西的级数标准*）。

如果级数（其通项为xnx_n）收敛，则我们特有lim⁡n→∞(sn−sn−1)=lim⁡n→∞xn=0\lim_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} x_n = 0；但是，即使 GG 是完整的（参见章 IV, § 7），收敛所需的条件一般情况下也远远不够。

命题 7 0BMQ

如果由序列* (xn)(x_n) 和 (yn)(y_n) 定义的级数收敛，那么由序列 (−xn)(-x_n) 和 (xn+yn)(x_n + y_n)定义的级数也收敛，*我们有* (7)

∑n=0∞(−xn)=−∑n=0∞xn, \sum_{n=0}^\infty (-x_n) = -\sum_{n=0}^\infty x_n,
(8)
∑n=0∞(xn+yn)=∑n=0∞xn+∑n=0∞yn. \sum_{n=0}^\infty (x_n + y_n) = \sum_{n=0}^\infty x_n + \sum_{n=0}^\infty y_n.
这是−x-x在GG上的连续性和x+yx + y在G×GG \times G上的连续性的明显推论。

被以下引用 1

被以下引用 例, IV § 7

推论 0BMR

如果*(xn),(yn)(x_n), (y_n)*是*GG*的点的两个序列，使得*xn=ynx_n = y_n*除了指标的有限数，并且如果级数其一般项是*xnx_n 收敛，那么级数也收敛，其通式项是yny_n。

引用了 2

引用了 习题 5, § 5, IV § 7. 实数的无限和和乘积

对于级数，其一般项为xn−ynx_n - y_n，具有从某个指标开始的所有项零。

这个推论可以放在形式中，即*我们可以任意改变收敛级数的项的有限数，而不会使其停止收敛*。 特别是，如果 n<mn < m 为 yn=0y_n = 0，yn=xny_n = x_n 为 n≥mn \geq m，我们可以看到，其一般项为 yny_n 的级数收敛，当且仅当其一般项为 xnx_n 的级数收敛；其和记为∑n=m∞xn\sum_{n=m}^{\infty} x_n，称为级数(xn)(x_n)的指标mm的*剩余类*。自从

∑n=m∞xn=∑n=0∞xn−sm−1, \sum_{n=m}^{\infty} x_n = \sum_{n=0}^{\infty} x_n - s_{m-1},
收敛级数的指标mm的剩余类*趋于*0，因为mm趋向于+∞+\infty。

如果序列 (xn)n∈I(x_n)_{n \in I} 具有指标集合 N\mathbf{N} 的无限子集 II，并且如果φ\varphi 表示N\mathbf{N} 的*严格保序* 双射到II，那么序列(xφ(n))n∈N(x_{\varphi(n)})_{n \in \mathbf{N}}定义的级数就被滥用语言，称为序列(xn)n∈I(x_n)_{n \in I}定义的*级数*；如果这个级数收敛，则它的和记为∑n∈I∞xn\sum_{n \in I}^{\infty} x_n。立即验证，当且仅当一般项为 (zn)(z_n) 的级数收敛时，级数才收敛，其中，如果n∈In \in I则为zn=xnz_n = x_n，如果n∈CIn \in \mathbf{C} I则为zn=0z_n = 0。

值得注意的是，如果由序列 (xn)n∈N(x_n)_{n \in \mathbf{N}} 定义的级数收敛，则可能存在 N\mathbf{N} 的无限子集 II，使得由子序列 (xn)n∈I(x_n)_{n \in I} 定义的级数 不收敛（参见习题 5 和章 IV, § 7）。

命题 4 和 5 扩展立即到级数，我们将在这种情况下的公式留给读者。

命题 8（限制结合性 / 级数） 0BMS

设*(kn)(k_n)*为严格递增的序列/整数*⩾0\geqslant 0。 如果级数的一般项是 xnx_n 收敛，并且如果我们放入 un=∑p=kn−1kn−1xpu_n = \sum_{p=k_{n-1}}^{k_n-1} x_p，*那么级数的一般项是* unu_n 收敛，我们有 ∑n=0∞un=∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} u_n = \sum_{n=0}^{\infty} x_n。

对于级数(un)(u_n)的部分和的序列来说，是级数(xn)(x_n)的部分和的序列(sn)(s_n)的*子序列*(skn−1)(s_{k_n-1})。

7. 交换收敛级数

令(xn)(x_n)为GG中的*可求和*序列，并令s=∑n∈Nxns = \sum_{n \in \mathbf{N}} x_n为其和。那么对于每个 0 的邻域 VV，都存在 J0∈F(N)J_0 \in \mathfrak{F}(\mathbf{N})，使得每当 J∈F(N)J \in \mathfrak{F}(\mathbf{N}) 和 J0⊂JJ_0 \subset J 时就有 sJ∈s+Vs_J \in s + V。令J0J_0中的mm为最大的整数；那么如果 n⩾mn \geqslant m 我们有 sn∈s+Vs_n \in s + V，因此 级数 (xn)(x_n) 是收敛的，并且它的和是 ss。但逆命题是*假*：

收敛级数的项的序列很可能无法求和（参见章 IV，）

此外，收敛级数的定义本质上涉及N\mathbf{N}的阶结构。如果级数(xn)(x_n)收敛，并且σ\sigma是N\mathbf{N}的置换，则级数(xσ(n))(x_{\sigma(n)})不一定收敛（cf.章IV, § 7，习题） 15）。

定义 2 0BMT

由序列* (xn)(x_n) *定义的级数 被认为是可交换收敛的，如果对于 N\mathbf{N}的每个置换* σ\sigma ，由序列 (xφ(n))(x_{\varphi(n)}) *定义的级数是收敛的。

命题 9 0BMU

由序列* (xn)(x_n) *定义的级数 可交换收敛当且仅当序列 (xn)(x_n) 可求和；然后，对于每个置换 σ\sigma of N\mathbf{N}，*我们有

引用了 2 · 被以下引用 6

引用了 命题 5, II § 3, 推论 2, II § 3

被以下引用 习题 5, § 5, 命题 4, IV § 7, 命题 5, IV § 7, 习题 7, 附录 0, 命题 11, IX § 3, 命题 4, VII § 3

∑n=0∞xσ=∑n∈Nxn. \sum_{n=0}^{\infty} x_{\sigma} = \sum_{n \in \mathbf{N}} x_n.

如果序列可求和，那么显然级数是可交换收敛的。为了证明相反的含义，我们将通过*归谬法*进行论证，并假设级数 (xn)(x_n) 是交换收敛的，但序列 (xn)(x_n) 不可求和。滤波器Φ\Phi在映射H→sHH \to s_H下的像因此不能是GG中的柯西滤波器基，否则该滤波器基将收敛，因为到假设它有一个集群点（章II, § 3, no. 2，命题5，推论2）。因此，GG中存在0的邻域VV，这样，对于N\mathbf{N}的每个有限子集JJ，N\mathbf{N}中存在有限子集HH，不满足JJ，并且是这样那个∑n∈Hxn∉V\sum_{n \in H} x_n \notin V。因此，通过归纳，我们可以将N\mathbf{N}的定义划分转化为*有限*子集HkH_k（k∈Nk \in \mathbf{N}），使得∑n∈Hkxn∉V\sum_{n \in H_k} x_n \notin V对于指标的无限数 kk。显然，N\mathbf{N}有置换σ\sigma，因此对于每个kk，nn的值其中σ(n)∈Hk\sigma(n) \in H_k是连续的。如果σ\sigma是这样的置换，那么级数其通项是xσ(n)x_{\sigma(n)}不能收敛，我们就有矛盾了。

如果群GG被写成*乘法*，则由GG的点的序列* (xn)(x_n)定义的*无限乘积（或*无限乘积，其通式项为* xnx_n，甚至 乘积 xnx_n（如果不存在混淆的可能性）被定义为由序列 (xn)(x_n) 和部分积的序列组成的对

pn=∏k=0nxk. p_n = \prod_{k=0}^{n} x_k.

如果序列 (pn)(p_n) 收敛，则无限的乘积被称为“收敛”，并且该序列的极限由 ∏n=0∞xn\prod_{n=0}^{\infty} x_n 表示（或通过滥用记号表示 ∏n=0∞xn\prod_{n=0}^{\infty} x_n）。我们留给读者的任务是将我们已经建立的级数的属性转录成乘法记号。

习题

参见习题为 § 5。

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