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历史注记

（括号内的数指本注末尾的参考书目。）

正如我们在历史注记到章 II 中提到的，度量空间的概念是由 M. 于 1906 年引入的。 Fréchet，几年后由 F. 豪斯多夫在他的《Mengenlehre》中。 它在 1920 年获得了极大的重要性之后，部分是作为 S. 的基础工作的推论。 Banach 和他的学校关于规范空间及其在泛函数学分析的应用，也因为绝对值的概念在数和代数几何理论中的重要性（特别是关于绝对值的完成过程已被证明是一个强大的工具）。

1920 年至 1930 年间，对度量空间的性质进行了整整级数的研究。这些研究由莫斯科学校进行，特别旨在获得必要且充分的条件，以实现给定拓扑的可计量性。这一思想运动带来了正常空间的概念的重要性，它由Tietze于1923年定义，但其重要作用仅被认为是Urysohn [6]关于连续实值函数的扩张工作的推论。除了实数变量函数这种微不足道的情况外，H. Lebesgue [3] 首先考虑了在闭集合上定义的连续实值函数扩展到整个空间的问题（对于平面的情况）； 之前 Urysohn 的最终结果，由 H. Tietze [4] 求解度量空间。 问题的推广将函数和值包含在任意拓扑空间中，在过去几年中在代数拓扑中获得了相当大的重要性。最近的研究还表明，在此类问题中，正常空间的概念并不容易处理，因为它允许太多“病理”的可能性；它常常必须被 J. Dieudonné [9] 于 1944 年引入的更具限制性的准紧性概念所取代。在这个理论中，最显着的结果是 A. H. Stone [10] 的定理，它指出每个可度量的空间都是仿紧的 (*)。

我们已经注意到（历史注记到章IV）十九世纪末和二十世纪初（E. Borel，Baire，Lebesgue，Osgood，W. H. Young）关于$\mathbf{R}^n$中点集分类以及实值分类和刻画的重要工作将连续的函数迭代经过到极限的过程得到函数（相对于函数的序列）。人们很快意识到，公制空间在1910年的发展之后主要是俄罗斯和波兰人学校的成果，形成了这种性质的研究的自然领域。除其他外，对度量空间的研究清楚地表明了在现代数学分析中，微薄的集合的概念和定理在完整度量空间中密集开集合的可数交所发挥的基础作用(§ 5, no. 3, 定理 1)，Osgood [1] 首先（独立）证明了实直线，并由 Baire [2] 证明了空间 $\mathbf{R}^n$。

另一方面，Souslin 在 1917 年[5]纠正了 Lebesgue 的错误，表明 Borel 集合的连续像不一定是 Borel 集合；这导致他研究了定义并研究了集合更大的类，此后被称为“分析集合”或“苏斯林集合”。 之后苏斯林英年早逝 这项工作是由 N. Lusin（他的思想启发了苏斯林的工作）和波兰数学家（参见 [7] 和 [8]）特别推进的。如今，这些集合的重要性在于它们在积分理论中的应用（其中，由于它们的特殊性质，它们允许构造，这对于任意可测量的集合来说是不可能的）和现代势能理论，其中关于Souslin集合能力的基本定理，最近由G. Choquet [11]证明，已经表明本身就具有丰富的多样化应用。

(*) 与 1930 年左右由俄罗斯-波兰学校获得的判据相比，此定理允许对问题计量化获得更令人满意的解（“Nagata-Smirnov 准则”，cf. § 4，习题 22）。但值得注意的是，迄今为止，这些判据几乎没有任何应用；正如数学史上经常出现的那样，计量化问题的重要性似乎并不在于它的解，而在于它所激发的新思想。

[1] W. Osgood，非均匀收敛以及级数项与项的积分，Amer。日记。数学，19 (1897)，第 155-190 页。 [2] R. Baire，《关于变量的函数》，Ann。迪马特。 (3), 3 (1899), p. 1。 [3] H. Lebesgue，关于狄利克雷的问题，Rend。循环。垫。巴勒莫，24 (1907)，第 371-402 页。 [4] H. Tietze，Über Funktionen，die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind，J. de Crelle，145 (1915)，第 9-14 页。 [5] M. Souslin，《Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis》，C。 R.阿卡德。 《科学》，164 (1917)，第 88-91 页。 [6] P. Urysohn，《Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen》，数学。安.，94（1925），p. 262。 [7] N. Lusin，《Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications》，巴黎（Gauthier-Villars），1930 年。 [8] K. Kuratowski，拓扑学 I，第 2 版，Warszawa-Vrocaw，1948 年。 [9] J. Dieudonné，空间契约的通用化，杂志。德数学。 (9), 23 (1944)，第 65-76 页。 [10] A. H. Stone，准紧性和乘积空间，Bull。阿米尔。数学。 《社会学会》，54 (1948)，第 977-982 页。 [11] G. Choquet，能力理论，Ann。研究所。傅立叶，5 (1953-1954)，第 131-295 页。