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历史注记

（括号内的数指本注末尾的参考书目。）

加法群$\mathbf{R}^n$的子群和商群理论的主要结果早在上世纪末就已为人所知。许多算术问题和数学分析促使数学家研究由有限点的数生成的$\mathbf{R}^n$的子群的结构。因此，拉格朗日在发展“续分数”理论的同时，在经过中证明，对于每一个实数$\theta$，都存在整数$m, n$，而不是同时存在零，使得$m - n\theta$任意小（[1]，第7卷， p. 27）。 1835 年，雅可比在其对多个复变量的周期分析函数的研究的推动下，表明如果$x, y, z$是$\mathbf{R}^2$中的三个向量，则存在整数$m, n, p$，而不是全部零，这使得向量 $mx + ny + pz$ 任意小（[2]，第 2 卷，p. 25）。不久之后，狄利克雷在代数数的研究过程中，发现了他著名的“鸽子洞原理”（Schubfachprinzip）（cf.§ 1、习题10和11），通过它他证明了$p$ 形式$\alpha_{i1}m_1 + \alpha_{i2}m_2 + \cdots + \alpha_{in}m_n - q_i \quad (1 \leq i \leq p)$，其中$\alpha_{ij}$是任意实数，$m_j$和$q_i$是整数（并非所有零），可以同时变得任意小（[3]，第1卷，p. 635）。 1850 年，完全不同的方法埃尔米特针对特定型 $m\theta_i - q_i \quad (1 \leq i \leq p)$ 中的形式得出了相同的结果（[4]，第 1 卷，p. 105）。最后，1884年，克罗内克证明了§ 1的命题7中所述的一般结果（[5]，第31卷，p. 47）。

当然，这些结果独立于局部紧致阿贝尔的群的一般理论，这是最近起源的（参见历史注记到章III）；但后一种理论，特别是对偶理论（*），主要通过以下方式为这些旧结果提供了新的启示：

(*) 参见例 A. Weil [8]。

提出相关子群的基本概念。文中的阐述就是基于这些想法（*）。

我们在这个章中所采取的点纯粹是定性的：也就是说，我们已经确定了$p$点的线性组合的存在性，其整数系数任意接近于给定的点（可能必须满足某些条件);但也有人可能会问，近似的精度与给出近似值的线性组合中系数的大小之间是否存在关系？这是“丢番图近似”定量理论的点观点，也是第一段引用的所有作者的观点点。在过去的一百年里，这些问题一直是许多不同研究的对象，在数理论中有丰富的应用；在这种背景下追踪它们的发展将使我们远远超出我们目前的范围，因此，我们所做的只不过是让希望了解这些理论的读者参考 Minkowski [6] 和 H. Weyl [7] 的基本著作，这些著作是丰富文献的起源 (**)。

() Marcel Riesz [9] 已经勾勒出类似的阐述。 (*) 有关该主题的最新参考书目，请参阅 J. Koksma [10]。

[1] J.L。拉格朗日，苏弗尔，卷。 7，巴黎（高蒂尔-维拉尔），1877 年。 [2] C。 G. J. Jacobi，《Gesammelte Werke》，卷。 2、柏林（G. Reimer），1882 年。 [2之二] C。 G. J. Jacobi，Über die vierfach periodischen Funktionen zweier Variabeln [Ostwald’s Klassiker，no. 64，莱比锡 (Engelmann)，1895]。 [3] P. G. Lejeune-Dirichlet，Werke，卷。 1，柏林（G. Reimer），1889 年。 [4]C。埃尔米特，《苏弗尔》，卷。 1，巴黎（Gauthier-Villars），1905 年。 [5]L。克罗内克，我们，卷。 31，莱比锡（托伊布纳），1899 年。 [6] H. Minkowski，Gesammelte Abhandlungen，2 卷，莱比锡-柏林 (Teubner)，1911 年。 [7] H. Weyl，“Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins”，数学。安，卷。 77 (1916), p. 313 [= Selecta, 巴塞尔-斯图加特 (Birkhäuser), 1956, p. 111]。 [8] A. Weil，L’在群拓扑和应用中的集成。行为。科学。 et Ind.，no. 869，巴黎 (Hermann) 1940，第 108-109 页 [第二版，同上，no. 1145 (1953)]。 [9] M. Riesz，模倒数 [Proc.国际数学家大会，奥斯陆（1936 年），卷。 2、p. 36]。 [10] J. Koksma，《丢番图近似》，柏林（施普林格），1936 年。